1.7. Диференціальні рівняння у повних диференціалах
Диференціальне рівняння виду:
називається диф.
рівнянням у повних диференціалах,
якщо його ліва частина є повним
диференціалом деякої функції
Якщо умова (1.18) виконується тоді загальний інтеграл диф. рівняння у повних диференціалах (1.17) має вигляд:
де довільна стала інтегрування.
Для того, щоб рівняння (1.17) було диф. рівнянням у повних диференціалах необхідно і достатньо, щоб виконувалась рівність:
|
,
тобто
)
При
розв'язуванні
диф. рівняння (1.17) спочатку перевіряють
умову (1.20), при виконанні якої дане
рівняння є диф. рівнянням у повних
диференціалах. Тобто невідома функція
задовольняє умови (1.18
).
Інтегруючи рівність
по
визначають функцію
з точністю до довільної диференційовної
функції
де
первісна
функції
по змінній
вважаючи змінну
константою. Диференціюючи останню
рівність по
і враховуючи
отримують
рівняння для знаходження функції
Розв'язати
диф. рівняння:
.
Розв'язання.
У заданому
рівнянні
,
Задано рівняння у диференціальній формі, яке може бути: а) диф. рівнянням з відокремлюваними змінними (1.6); б) однорідним диф. рівнянням (дивись зауваження, стр. 18); в) диф. рівнянням у повних диференціалах (1.17). Важливим є визначення виду диф. рівняння!
Задане
рівняння не
є
диф. рівнянням з
відокремлюваними змінними, бо,
зокрема, функцію
не можна записати у вигляді добутку
Задане рівняння не є однорідним диф. рівнянням, бо, наприклад, функція є сумою одночленів третього і нульового степенів, тобто, взагалі, не є однорідною функцією. |
Перевіримо умову (1.20):
Умова (1.20) виконується, тому маємо диференціальне рівняння у повних диференціалах.
Знайдемо функцію , повний диференціал якої знаходиться у лівій частині заданого рівняння.
Згідно
(1.18
):
Інтегруємо останню рівність по змінній вважаючи змінну константою:
Для
знаходження функції
використаємо другу умову (1.18
):
тобто
звідки
звідки
де
довільна
стала;
Отже,
Використовуючи
рівність (1.19), отримаємо загальний
інтеграл
диф. рівняння:
де
довільна
стала.
Відповідь. де довільна стала.
Диференціальне
рівняння у
повних диференціалах
(1.17) інтегрується досить нескладно.
За певних умов можна домножити будь-яке
диф. рівняння у диференціальній формі
(1.3) на функцію
Методи
знаходження інтегрувальних множників
|
яка називається інтегрувальним
множником,
так, що це рівняння стане диф.
рівнянням у повних диференціалах.
у даному посібнику не розглядаються.
Для знаходження невідомої функції диф. рівняння у повних диференціалах (1.17) іноді використовують формулу:
де
перший визначений інтеграл
|
обчислюється при сталому значенні
а другий визначений інтеграл
обчислюється при сталому значенні
Початкову точку
у формулі (1.21) вибирають так, щоб
підінтегральні вирази були найпростішими.