15. Розрахунок вибіркової похибки моделі. Побудова довірчого інтервалу для середнього прогнозного значення результуючої змінної, його геометрична інтерпретація

Знаючи вибіркові похибки параметрів моделі, можна знайти похибку вибіркову похибку всієї моделі. Очевидно, що задача знаходження вибіркової похибки усієї регресії рівносильна задачі знаходження вибіркової похибки теоретичного значення результуючої змінної.

Для того, щоб представити це значення, запишемо ПЛКРМ у такому вигляді:

Згідно теореми про дисперсію двох незалежних випадкових величин маємо:

Дисперсія збігається з дисперсією при нульовому значення факторної ознаки, отже, шляхом математичних перетворень отримаємо таку формулу для обчислення стандартної вибіркової похибки моделі:

Стандартна вибіркова похибка моделі відображає похибку вибірки.

Стандартна вибіркова похибка моделі залежить від конкретного значення факторної ознаки і дає оцінку середнього значення результуючої змінної для цього значення факторної ознаки.

Гранична вибіркова похибка моделі

Геометрично, довірчий інтервал інтерпретується смугою між двома гіперболами:

Нехай x= 1500 грн.

За даними обчислень:

За таблицями розподілу Стьюдента з рівнем значущості α=0,05 значення імовірнісного коефіцієнта tp=1,714.

Гранична вибіркова похибка моделі дорівнює:

22509,61

Довірчий інтервал за заданого рівня імовірності:

15464,76≤ y ≤ 29554,46

Це означає, що з ймовірністю 95% фактичне значення валового регіонального продукту у фактичних цінах, при величині роздрібного товарообороту підприємства – 15000грн. повинне лежати в межах від 15464,76 до29554,46 грн.

Рис. 15.1. Геометрична інтерпретація довірчого інтервалу для фактичних значень результуючої змінної

16. Обчислення похибки індивідуального прогнозу. Побудова довірчого інтервалу для індивідуального прогнозного значення результуючої змінної, його геометрична інтерпретація

Похибка оцінки індивідуального прогнозу обчислюється за формулою:

Похибка оцінки індивідуального прогнозу обчислюється за формулою:

На основі стандартної похибки оцінки індивідуального прогнозу при заданому значенні ймовірності р можна визначити граничну похибку індивідуального прогнозу та побудувати довірчий інтервал для індивідуального прогнозу.

Гранична похибка знаходиться як добуток стандартної похибки на заданий імовірнісний коефіцієнт .

Для х = 15000 грн.:

За таблицями розподілу Стьюдента з рівнем значущості α=0,05 значення імовірнісного коефіцієнта tp=1,714.

Це означає, що з ймовірністю 95% фактичне значення величини валового регіонального продукту у фактичних цінах за величини роздрібного товарообороту підприємства грн. повинне лежати в межах від -12561,3 до 35699,22 грн.

Рис. 16.1. Геометрична інтерпретація довірчого інтервалу індивідуального прогнозу

17. Оцінення коефіцієнта кореляції

Всі випадкові величини ми оцінювали до цього часу (випадкові відхилення, параметри b₀ , b₁) мали нормальний закон розподілу (або близький до нього), тому для їхньої оцінки можна було будувати симетричний довірчий інтервал, використовуючи таблиці нормального закону розподілу або розподілу Стьюдента.

Коефіцієнт кореляції r не є нормально розподілена випадкова величина. Областю його допустимих значень є інтервал [-1;1], а нормального закону розподілу(-∞;+∞).

Вибіркове значення коефіцієнта кореляції r = 0,71. Отож, для оцінювання коефіцієнта кореляції насамперед перейдемо від випадкової змінної r до випадкової змінної z:

Для випадкової величини z знайдемо стандартну вибіркову похибку за формулою:

Гранична вибіркова похибка z при заданому значенні довірчої ймовірності р = 0,95 становить

.

Тоді довірчий інтервал невідомого значення ζ випадкової величини z, яке відповідає істинному значенню коефіцієнта кореляції , має вигляд:

.

Здійснивши обернене перетворення від змінної z до змінної r за формулою (57), отримаємо довірчий інтервал для істинного значення коефіцієнта кореляції генеральної сукупності —

,

де ,

Отже, з довірчою ймовірністю 0,95 можна стверджувати, що істинне значення коефіцієнта кореляції генеральної сукупності має лежати в межах від до .