Примеры решения задач

Задача 1.

Пользуясь определением двойного интеграла, вычислить

Указание

Выберите разбиение области интегрирования так, чтобы оно состояло из участков, симметричных относительно оси Ох.

Решение

Выберем разбиение области интегрирования так, чтобы оно состояло из участков, симметричных относительно оси Ох.

Составим две интегральных суммы: одну – по области S (y > 0), вторую – по области  (y < 0); при этом выберем точки на элементах разбиения так, чтобы точке M_i(x_i; y_i), принадлежащей элементу разбиения s_i, соответствовала точка N_i(x_i; -y_i), принадлежащая элементу разбиения _i. Тогда интегральная сумма по всему кругу может быть представлена в виде:

Поскольку подынтегральная функция непрерывна в области интегрирования, то она интегрируема, и, следовательно, предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения. Таким образом, интеграл равен 0.

Ответ: 0.

Задача 2. С помощью теоремы о среднем найти

где f (x,y) – непрерывная функция.

Указание

Воспользуйтесь теоремой о среднем:

Решение

Областью интегрирования является круг радиуса R. При единственной

общей точкой всех кругов является начало координат. Поэтому можно считать, что

Отсюда

Ответ: f (0,0).

Задача 3. Оценить интеграл

где D – прямоугольник 0 < x < 1, 0 < y < 2.

Указание

Воспользуйтесь свойством двойного интеграла: если интегрируемая в области D функция f(x, y) удовлетворяет неравенству

m < f(x, y) < M,

то

Решение

Найдем наименьшее и наибольшее значение подынтегральной функции в прямоугольнике 0 < x < 1, 0 < y < 2 – очевидно, что они достигаются при соответственно наименьших и наибольших значениях х и у, то есть

Ответ:

2.1.2. Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах

Рассмотрим область D, ограниченную линиями у = ₁(х), у = ₂(х), ₁(х) < ₂(х), x = a, x = b ( a < b ), где ₁(х) и ₂(х) непрерывны на [a, b]. Тогда любая прямая, параллельная координатной оси Оу и проходящая через внутреннюю точку области D, пересекает границу области в двух точках: N₁ и N₂ (рис.1).

Рис. 1

Назовем такую область правильной в направлении оси Оу. Аналогично определяется область, правильная в направлении оси Ох. Область, правильную в направлении обеих координатных осей, будем называть просто правильной. Например, правильная область изображена на рис.1.

Пусть функция f(x, y) непрерывна в области D. Рассмотрим выражение

называемое двукратным интегралом от функции f(x, y) по области D. Вычислим вначале внутренний интеграл (стоящий в скобках) по переменной у, считая х постоянным. В результате получится непрерывная функция от х:

Полученную функцию проинтегрируем по х в пределах от а до b. В результате получим число

Докажем важное свойство двукратного интеграла.

Теорема 1. Если область D, правильная в направлении Оу, разбита на две области D₁ и D₂ прямой, параллельной оси Оу или оси Ох, то двукратный интеграл по области D будет равен сумме таких же интегралов по областям D₁ и D₂:

Доказательство.

а) Пусть прямая х = с разбивает D на D₁ и D₂ , правильные в направлении Оу. Тогда

б) Пусть прямая y = h разбивает D на правильные в направлении Оу области D₁ и D₂ (рис.2). Обозначим через M₁(a₁, h) и M₂(b₁, h) точки пересечения прямой y = h с границей L области D.

Рис. 2

Область D₁ ограничена непрерывными линиями

1) y = ₁(x);

2) кривой А₁М₁М₂В, уравнение которой запишем y = ₁*(x), где ₁*(х) = ₂(х) при а ≤ х ≤ а₁ и b₁ ≤ x ≤ b, ₁*(х) = h при а₁ ≤ х ≤ b₁;

3) прямыми x = a, x = b.

Область D₂ ограничена линиями y = ₁*(x), у = ₂(х), а₁ ≤ х ≤ b₁.

Применим к внутреннему интегралу теорему о разбиении промежутка интегрирования:

Представим второй из полученных интегралов в виде суммы:

Поскольку ₁*(х) = ₂(х) при а ≤ х ≤ а₁ и b₁ ≤ x ≤ b, первый и третий из полученных интегралов тождественно равны нулю. Следовательно,

то есть

Следствие.

Таким же образом можно разбить область D на любое число правильных областей. При этом двукратный интеграл по области D будет равен сумме интегралов по частичным областям.

Замечание 1.

Используя теорему 1 и теоремы о среднем для определенного интеграла, можно доказать, что для двукратного интеграла справедливы соотношения:

где т и М – соответственно наименьшее и наибольшее значение функции f(x, y) в области D, а S – площадь этой области, и

I_D = f(P)S, (2)

где Р – точка, принадлежащая области D .

Замечание 2.

Более употребительной формой записи двукратного интеграла является

Теорема 2. Двойной интеграл от непрерывной функции f(x, y) по правильной области D равен двукратному интегралу от этой функции по данной области, то есть

Доказательство.

Разобьем область D прямыми, параллельными координатным осям, на п правильных (в основном прямоугольных) областей S₁, S₂,…, S_n. Тогда по теореме 1

.

Из (2) получим:

где справа стоит интегральная сумма, предел которой равен двойному интегралу от f по области D, а слева – постоянное число I_D . Переходя к пределу при получим равенство (3).

Пример 1.

Вычислим двойной интеграл от функции z = x + y по области, представляющей собой треугольник с вершинами в точках (0,0), (0,1) и (1,0) (рис.3).

Рис. 3

Здесь а = 0, b = 1, ₁(x) = 0, ₂(x) = 1 – x. Тогда