Переход к цилиндрическим и сферическим координатам в тройном интеграле

Найдем, используя формулы (4), (5) и (9), якобианы перехода от декартовых координат к цилиндрическим и сферическим:

1. для цилиндрических координат

2. для сферических координат

Тогда формулы перехода к цилиндрическим или сферическим координатам в тройном интеграле будут выглядеть так:

где смысл обозначений понятен из предыдущего текста.

Пример 2.

Вычислим интеграл от функции по области, ограниченной поверхностями ­x² + y² = 1, y = 0, y = x, z = 0, z = 1.

Пример 3.

Пусть подынтегральная функция u = 1, а область интегрирования – шар радиуса R с центром в начале координат. Тогда

Примеры решения задач

Задача 1. Расставить пределы интегрирования в повторном интеграле от функции u = f (x,y,z) по области V, ограниченной поверхностями

Указание

Найдите проекцию области интегрирования на координатную плоскость Оху и расставьте по этой области пределы в интегралах по х и у.

Решение

Область интегрирования снизу ограничена конусом, а сверху – параболоидом вращения.

Найдем уравнение линии пересечения этих поверхностей:

окружность радиуса 4 с центром в точке (0,0,4). Следовательно, проекцией области интегрирования на плоскость Оху является круг радиуса 4 с центром в начале координат. Перейдем от тройного интеграла к повторному:

Ответ:

Задача 2. Вычислить тройной интеграл от функции

по области, ограниченной поверхностями

Указание

Поверхность z = xy пересекает координатную плоскость Оху по прямым х = 0 и у = 0, поэтому проекцией области интегрирования на плоскость Оху является треугольник, ограниченный отрезками прямых х=0, у=0 и х + у = 1.

Решение

Поверхность z = xy пересекает координатную плоскость Оху по прямым х = 0 и у = 0, поэтому проекцией области интегрирования D на плоскость Оху является треугольник, ограниченный отрезками прямых х = 0, у = 0 и х + у=1.

Переходя к повторному интегралу, пределы по х и у расставим для области D, а пределами по z являются функции, задающие границы области интегрирования:

Ответ:

Задача 3.

Вычислить тройной интеграл от функции

по области, ограниченной поверхностями

Указание

Выберите в качестве внешних переменных х и z и перейдите к цилиндрическим координатам.

Решение

Выберем в качестве внешних переменных х и z. Тогда поверхности

являются границами области интегрирования, а проекция этой области на плоскость Oxz ограничена проекцией на эту плоскость линии пересечения данных поверхностей.

окружность радиуса 2 в плоскости у = 2. Следовательно, проекция области интегрирования на плоскость Oxz – круг радиуса 2 с центром в начале координат. Вычислим интеграл в цилиндрических координатах, заданных следующим образом:

Получим:

Ответ:

Задача 4.

Вычислите интеграл

с помощью перехода к цилиндрическим координатам.

Указание

Определите вид проекции области интегрирования на плоскость Оху как области, ограниченной линиями

Решение

Определим вид проекции области интегрирования на плоскость Оху как области, ограниченной линиями

окружность радиуса 1 с центром в точке (1;0). С учетом того, что y > 0, проекцией области интегрирования является полукруг, лежащий выше оси Ох.

Найдем уравнение окружности в полярных координатах:

Перейдем в заданном интеграле к цилиндрическим координатам:

Ответ: 8.

Задача 5. Вычислить интеграл

по области, заданной неравенствами