Геометрический смысл криволинейного интеграла I типа

Из определения криволинейного интеграла I типа и этой задачи следует, что криволинейный интеграл при f(M)0 численно равен площади участка цилиндрической поверхности с образующей, параллельной Oz, который снизу ограничен контурами интегрирования L=AB, а сверху – кривой z=f(M).

Если , то ,

где - длина самого контура интегрирования L.

Таким образом, с помощью криволинейного интеграла I типа можно вычислить площадь цилиндрической поверхности и длину дуги.

3. Задача о массе кривой

Рассмотрим физическую задачу, которая приводит к понятию криволинейного интеграла I типа. Пусть вдоль некоторой спрямляемой кривой L распространена масса с плотностью (М) ML.

Задача. Определить массу всей этой кривой.

Разобьем кривую L на частичные дуги . На каждой частичной дуге выберем произвольно точку , - плотность в точке . Будем считать, что плотность на всей частичной дуге постоянна и равна . Тогда - масса дуги , следовательно, - масса всей кривой L.

Последнее равенство тем точнее, чем меньше разбиение. Пусть . Тогда .

Физический смысл криволинейного интеграла I типа

физически выражает массу кривой L, плотность в каждой точке которой равна f(M).

4. Вычисление криволинейного интеграла I типа

Криволинейный интеграл I типа вычисляется путем сведения его к обычному определенному интегралу. Пусть требуется вычислить .

Теорема. Пусть кривая L=AB задана параметрически

, (3)

где (t) и (t) – непрерывно дифференцируемы на [t₁;t₂]. Пусть f(x;y) непрерывна на кривой L. Тогда

. (4)

Доказательство.

Пусть для определенности меньшему значению параметра t₁ соответствует точка A. Функция f(x;y) непрерывна вдоль кривой L, т. е. непрерывна в любой точке М(x;y)L. Положение точки на кривой L определяется длиной дуги . Этим самым координаты x, y точки M тоже определяются как функции от s: Это есть параметрическое представление кривой L с параметром s[0;S], где S - длина всей кривой L. Тогда f(x;y)=f(x(s);y(s))=F(s) - сложная функция от s.

Пусть - произвольное разбиение кривой L на дуги . Произвольно выберем на точку . Обозначим через и значения параметра s, отвечающие соответственно точкам и . Тогда

. (5)

Справа в (5) – обычная интегральная сумма для функции F(s), где . Переходя в (5) к , получим

, (6)

где интегрирование по s уже обозначает взятие обыкновенного определенного интеграла от функции одной переменной F(s). Так как f(x;y) непрерывна и x=x(s), y=y(s) непрерывны, то сложная функция F(s) непрерывна и, следовательно, существуют все интегралы в (6).

С другой стороны длину s дуги можно рассматривать как функцию параметра t: s=s(t). Таким образом, M=M((t);(t)). С возрастанием t от t₁ до t₂ величина s возрастает от 0 до S. Известно, что дифференциал дуги

.

Выполнив замену переменной в (6) получим:

= .

Замечание. Если кривая L задана явным уравнением y=(x) (x[a;b], (x) - непрерывно дифференцируемая функция), то принимая за параметр переменную , получим параметрическое уравнение кривой: Следовательно,

. (7)

П ример 1. Вычислить , - дуга астроиды , лежащей в первой четверти.

Δ Параметрическое уравнение части астроиды, лежащей в первой четверти:

, .

По формуле (4)

. Δ

П ример 2. Вычислить массу всей цепной линии , если линейная плотность ее .

Δ . Применим формулу (7):

.

, ,

.

Следовательно,

. Δ