Уравнение в полных дифференциалах

1°. Уравнение

(7.1)

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть есть полный дифференциал некоторой функции U (x, y) и следовательно его можно записать в виде:

dU=0 U=const=c

Например, уравнение xdy+ydx=0, есть уравнение в полных дифференциалах, так как его можно записать в виде d(xy)=0 и, значит, xy=c.

Если функции M и N в области задания непрерывны и имеют частные производные соответственно по y и по x, то для того чтобы уравнение (7.1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество

 

(7.2)

Если условие (7.2) выполнено, то решение можно записать в виде

(7.3) либо , (7.4)

где – произвольная точка в области задания функций M и N.

Частное решение, удовлетворяющее начальным условиям , в случае когда функции M и N не обращаются одновременно в 0 в точке , можно найти обычным путем, определив константу c из общего решения, а можно в формулах (7.3) и (7.4) положить :

(7.5) либо (7.6)

38. Дифференциальные уравнения первого порядка: линейное уравнение и уравнение Бернулли. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Дифференциальные уравнения 1-го называется линейным, если оно имеет вид

, (12.7)

где и - некоторые непрерывные функции переменной .

Если уравнение (12.7) называется однородным, в противном случае – неоднородным.

Решение. а) Если , то однородное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

б) Если , то для неоднородного уравнения сделаем замену , тогда , и уравнение (12.7) сводится к виду: , или .

Пусть выражение, стоящее в скобках равно нулю, тогда имеем два уравнения с разделяющимися переменными: Решая сначала первое уравнение из системы, находим какое-либо частное решение , которое подставляем во второе уравнение системы и находим .Окончательно, имеем решение: .

Дифференциальное уравнение Бернулли

вида:

называется уравнением Бернулли (при или получаем неоднородное или однородное линейное уравнение). При является частным случаем уравнения Риккати. Названо в честь Якоба Бернулли, опубликовавшего это уравнение в 1695 году. Метод решения с помощью замены, сводящей это уравнение к линейному, нашёл его брат Иоганн Бернулли в 1697 году.^[1]

Метод решения

Первый способ

Разделим все члены уравнения на получим Делая замену и дифференцируя, получаем: Это уравнение приводится к линейному: и может быть решено методом Лагранжа (вариации постоянной) или методом интегрирующего множителя.Второй способ.Заменим тогда: Подберем так, чтобы было для этого достаточно решить уравнение с разделяющимися переменными 1-го порядка. После этого для определения получаем уравнение  — уравнение с разделяющимися переменными.