17. Вычисление объёма с помощью двойного интеграла.

a) с помощью двойного интеграла вычисляют площади плоских фигур: – в декартовых координатах,

  – в полярных координатах;

б) двойной интеграл применяют для вычисления объемов тел. Пусть геометрическое тело ограничено с боков цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси OZ, а сверху и снизу – поверхностями  , где (x,y)D (D – проекция тела на плоскость OXY) (рис. 6).

Тогда объем этого тела вычисляют с помощью двойного интеграла: .

18. Тройной интеграл: определение и основные свойства. Тройной интеграл

1. Определение тройного интегралаПусть задана функция на замкнутой области d r3.

Определение 1. Сумма , где точка , – объём i-й части разбиения области D на , называется интегральной суммой функции в области D. Определение 2. Тройным интегралом от функции по области D R³ называется предел интегральной суммы при условиях:

а) и (стягиваясь в точку);

б) этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области D на части , ни от выбора точек в области .

Итак:

где – элемент области D R³.

Теорема (достаточное условие существования тройного интеграла)

Если функция непрерывна в области D R³, то тройной интеграл от этой функции по области D существует.

2. Физический и геометрический смысл тройного интеграла

1) Если при D R³, то тройной интеграл от такой функции по области D равен объёму тела D:

2) Если в каждой точке объёмной области D задана плотность распределения масс , то тройной интеграл от этой плотности по области D равен массе тела, занимающего область D: .

3. Основные свойства тройного интеграла

1) Если функция непрерывна в объёмной области D и , то .

2) Если k постоянная величина, то .

3) Если функции и непрерывны в области D R³, то .

1. Если для любых значений D R³ выполняется неравенство: , то .

Теорема (о среднем значении тройного интеграла)

Если функция непрерывна в замкнутой области D R³, то внутри области D найдётся хотя бы одна точка , для которой выполняется равенство:

где – объём тела, занимающего область D.

19. . Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат

Для вычисления тройного интеграла от функции по области D R³ проецируем область D на плоскость 0XY. Обозначим эту проекцию . Пусть область D будет такой, что любая прямая, проходящая через внутреннюю точку области D параллельно оси 0Z, пересекает поверхность S, ограничивающую область D, только в двух точках. Пусть и – уравнения поверхностей, ограничивающих область D снизу и сверху соответственно (рис. 1).

Тогда можно записать:

Если область G окажется правильной в направлении, например, оси 0Y, т.е. , то

Замечание 1. При сведении тройного интеграла к трём повторным интегралам не обязательно проецировать область D на плоскость 0XY, можно проецировать либо на 0XZ, либо на 0YZ – как удобнее. Замечание 2. Следует сначала вычислять внутренний интеграл по z, считая x и y постоянными, а затем вычислять двойной интеграл от полученной функции по области G, тогда: