20. Замена переменных в тройном интеграле.
При
вычислении тройного интеграла, как и
двойного, часто удобно сделать замену
переменных. Это позволяет упростить
вид области интегрирования или
подынтегральное выражение.
Пусть
исходный тройной интеграл задан в
декартовых координатах x,
y, z в
области U:
Требуется вычислить данный интеграл в новых координатах u, v, w. Взаимосвязь старых и новых координат описывается соотношениями:
Предполагается, что выполнены следующие условия:
1)Функции φ, ψ, χ непрерывны вместе со своими частными производными;
2)Существует взаимно-однозначное соответствие между точками области интегрирования U в пространстве xyz и точками области U' в пространстве uvw;
3)Якобиан
преобразования I (u,v,w),
равный
отличен от нуля и сохраняет постоянный знак всюду в области интегрирования U.
Тогда формула
замены переменных в тройном
интеграле записывается
в виде:
В
приведенном выражении 
означает
абсолютное значение якобиана.
Для
вычисления тройных интегралов часто
используются цилиндрические и сферические координаты.
Эти случаи рассматриваются подробно
на страницах
Тройные интегралы в цилиндрических координатах
Тройные интегралы в сферических координатах
21. . Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах
Переход
от декартовых координат к цилиндрическим
проводится по формулам:
(рис. 3).
.
Тогда тройной интеграл от
по области
преобразуется следующим образом:
22. . Вычисление тройного интеграла в сферических координатах
Переход от декартовых координат к сферическим проводится по формулам (рис. 4):
Тогда
тройной интеграл от
по области D
R3
преобразуется
следующим образом:
23. Понятие числового ряда. Сходимость ряда и его сумма
Числовым
рядом называется бесконечная
последовательность чисел
соединенных знаком сложения:
,
(13.1)
где
называются членами ряда, а
- общим или
-м
членом ряда,
- натуральные числа.
Ряд
(13.1) считается заданным, если известен
его общий член
.
Например,
дан ряд
общий член:
.
Более сложной является задача: по нескольким членам написать общий член.
Пример.
Найти общий член ряда
.
Решение.
Нетрудно убедиться, что
.
Сумма
первых
членов ряда
называется
-й
частичной суммой ряда.
Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, т.е.
.
(13.2)
Число
называется суммой
ряда,
поэтому можно записать:
.
(13.3)
Если конечного предела последовательности частных сумм не существует, то ряд называется расходящимся.
Пример.
Исследовать сходимость геометрического
ряда (составленного из членов
геометрической прогрессии):
.
Решение.
Требуется установить, при каких значениях
знаменателя прогрессии
ряд сходится, а при каких – расходится.
Из школьного курса алгебры известно,
что
.
Рассмотрим возможные варианты.
1)
Если
,
то
,
,
т.е.
- ряд сходится.
2)
Если
,
то
,
следовательно,
и ряд расходится.
3)
Если
,
то ряд примет вид
,
,
,
т.е. ряд расходится.
4)
Если
,
то ряд примет вид
,
при
-
четном,
при
-
нечетном,
не существует и ряд расходится.
Таким
образом,
геометрический ряд сходится
к сумме при
и расходится
при
