4.4. Elliptik tipli tənliklər üçün sərhəd məsələlərinin Qrin funksiyası üsulu ilə həlli

Elliptik tipli tənliklər üçün sərhəd məsələlərinin həllərinin analitik ifadəsini tapmaq üçün geniş istifadə olunan üsullardan biri Qrin funksiyası üsuludur.

Xətti elliptik tipli tənlik üçün aşağıdakı daxili və xarici sər­həd məsələlərinə baxaq:

, (4.58)

, (4.59)

burada , , , , məsələsinin həl­li­nin varlığı və yeganəliyi üçün lazım olan hamarlıq şərt­lə­ri­ni ödəyən verilmiş funksiyalardır.

Qoyulmuş məsələnin həlli üçün Qrin funksiyası üsulunun mahiyyəti ondan ibarətdir ki, (4.58) – (4.59) məsələsini həll et­mək üçün əvvəlcə onunla eyni tipli xüsusi

, (4.60)

(4.61)

sərhəd məsələsinin nöqtəsindən başqa ob­las­tının hər yerində kəsilməz olan həlli tapılır. Bu həllə (4.58) – (4.59) məsələsinin Qrin funksiyası deyilir.

Əgər Qrin funksiyası tapılmış olarsa, (4.58) – (4.59) məsə­lə­sinin həlli inteqrallama əməliyyatı aparmaqla asanlıqla tapı­lır. Bunun üçün məchul və funksiyala­rına Qrinin ikinci düsturunu tətbiq edək:

, (4.62)

burada S səthinə çəkilmiş xarici normal istiqamətində törə­mədir. D oblastında olduğundan (4.62) tənliyini

şəklində yazmaq olar. -funksiyasının xassəsinə görə bəra­bər­liyin sol tərəfindəki ikinci inteqral funksiyasına bərabər­dir, buna görə də

, (4.63)

burada inteqrallama M nöqtəsinin koordinatlarına görə aparılır. Birinci sərhəd məsələsi üçün

və (4.63) düsturundan (4.58) – (4.59) məsələsinin həllini alırıq:

. (4.64)

İkinci sərhəd məsələsində .

olduğundan (4.58) – (4.59) məsələsinin həlli

(4.65)

olar.

Üçüncü sərhəd məsələsi üçün

.

Bu halda (4.63)-dən (4.58) – (4.59) məsələsinin həllini

(4.66)

şəklində alarıq.

Beləliklə, (4.58) – (4.59) məsələsinin həlli (4.60) – (4.61) məsələsindən Qrin funksiyasının tapılmasına gətirilir.

4.5. Laplas tənliyi üçün Qrin funksiyası və onun əsas xassələri

Tutaq ki, funksiyası Laplas tənliyini ödəyir, yə­ni (4.58) – (4.59) məsələsində . Bu halda Qrin funk­si­yası P nöqtəsində üçölçülü fəzada , müstəvidə , ixtiyari m ölçülü fəzada şəklində məxsu­siyyətə malikdir [1] (S₁ – vahid sferanın sahəsidir).

Üçölçülü halda Qrin funksiyasını

(4.67)

şəklində yazmaq olar, burada funksiyası

(4.68)

şərtlərindən təyin olunur. Beləliklə, G funksiyasını tapmaq üçün xüsusi sərhəd şərti olan (4.68) sərhəd məsələsini həll etmək kifayətdir.

Mənbə funksiyasını bilmək isə, ixtiyari funksiyası üçün

, (4.69)

, (4.70)

məsələsini həll etməyə imkan yaradır.

mənbə funksiyasının elektrostatik interpretasiyası, yerlə birləş­di­rilmiş keçirici S səthinin daxilindəki P nöqtəsində yerləş­di­rilmiş nöqtəvi yükün M nöqtəsindəki potensialından ibarətdir. Burada birinci toplanan sərbəst fəzada nöqətvi yükün potensialını, ikinci toplanan isə keçirici S səthi üzərində induksiyalanmış yüklər sahəsinin potensialını göstərir. Beləliklə, mənbə funksiyasının qurulması induksiya­lan­mış sa­hə­nin tapılmasına gətirilir.

Mənbə funksiyasının bir neçə xassəsini nəzərdən keçirək. Bu zaman fərz edəcəyik ki, baxılan oblastlar üçün mənbə funk­siyası mövcuddur, bu funksiya S səthi üzərində normal törə­məyə malikdir və bu Qrin düsturlarının tətbiq olunma şərtlərini ödəyir.

1. G funksiyası -nin daxilində (yəni -də) hər yerdə müsbətdir.

2. G funksiyası M və P arqumentlərinə görə simmetrikdir:

.

Bu xassə fizikada olan qarşılıqlılıq prinsipinin riyazi ifadəsidir. P nöqtəsində yerləşdirilmiş mənbə M nöqtəsinə necə təsir edirsə, M nöqtəsində yerləşdirilmiş mənbə də P nöqtəsinə eləcə təsir edir. Qarışılıqlılıq prinsipi daha ümumi xarakter da­şı­yır və müxtəlif sahələrə (elektromaqnit, elastiklik və s.) aid­dir.

İkiölçülü hal üçün birinci sərhəd məsələsinin mənbə funksiyası aşağıdakı şərtlərdən təyin olunur:

1. D oblastının M = P nöqtəsindən başqa hər yerində .

2. M = P nöqtəsində G-nin şəklində məx­su­siyyəti vardır.

3. , burada oblastının sərhəddidir. Bu halda mənbə funksiyası aşağıdakı şəkildə olur:

,

burada -hər yerdə kəsilməz harmonik funksiyadır və sərhəd üzərində

şərtini ödəyir.

Bu halda tənliyi üçün birinci sərhəd məsələsinin həlli (4.64) düsturuna əsasən

(4.71)

şəklində olar.

Qrin funksiyasının tərifindən üçölçülü və ikiölçülü hallar­da uyğun olaraq,

(4.72)

bərabərlikləri alınır.

Məsələ 4.3. Sfera üçün birinci sərhəd məsələsinin Qrin funksiyasını qurmalı.

Həlli. Qrin funksiyasını qurmaq üçün ən çox elektrostatik təsvir üsulundan istifadə olunur. Onun ideyası aşağıdakından ibarətdir:

mənbə funksiyasını qurmaq üçün induksiyalanmış sahəsinə S səthinin xaricində yerləşdirilmiş yüklərin sahəsi kimi baxılır və bu yüklər elə seçilir ki,

şərti ödənilsin. Bu yüklər P nöqtəsində yerləşdirilən və S səthi olmadıqda potensialını yaradan vahid yükün elektro­sta­tik təsviri adlanır.

Tutaq ki, mərkəzi O nöqtəsində olan R radiuslu sfera veril­mişdir. P nöqtəsində vahid yük yerləşdirək və P-dən keçən radius üzərində olan elə OP₁ parçası ayıraq ki,

(4.73)

olsun, burada və (şəkil 4.1).

P nöqtəsinə müəyyən P₁ nöqtəsini qarşı qoyan (4.73) çevirməsi tərs ra­dius­lar çe­vir­məsidir. Bu çevirmə qar­şılıqlıdır və P nöqtəsinə P­₁-in qoşması kimi baxmaq olar.

İsbat edək ki, sfera üzə­rində yerləşən hər bir M nöq­təsinin P və P₁-dən olan mə­sa­fələri mütənasibdir. Bu məq­sədlə OMP və OMP₁ üç­bu­caq­larına baxaq. O təpəsindəki bucaqlar bərabər və ona söy­kənən tərəflər mütənasib olduğuna görə, yəni:

və ya

olduğundan bu üçbucaqlar oxşardır. Üçbucaqların oxşar­lı­ğın­dan alırıq:

, (4.74)

burada , .

(4.74) tənasübündən sferanın bütün nöqtələri üçün

alınır. Ona görə də harmonik funksiyası sfera üzərində funksiyasının aldığı qiymətləri alır. Aşkardır ki, o, P₁ nöqtəsində yerləşmiş, qiyməti olan yükün poten­sia­lından ibarətdir.

Beləliklə, sfera üzərində sıfra çevrilən və P nöqtəsində şəklində məxsusiyyəti olan harmonik

(4.75)

funksiyası sfera üçün axtardığımız mənbə funksiyasıdır.

Bu üsulla sferanın xaricində olan oblast üçün də mənbə funk­siyası qurula bilər.

Məsələ 4.4. Sfera üçün daxili Dirixle məsələsini həll et­məli.

Həlli. Dirixle məsələsinin həlli (4.64) düsturundan

(4.76)

şəklində alınar.

G-nin normal törəməsini hesablayaq:

, (4.77)

burada n – xarici normal, ( - ümumiyyətlə sfera üzərində yerləşmir).

və -in n istiqamətindəki törəmələri belə olur:

(4.78)

çünki,

, . (4.79)

və ifadələrini asanlıqla tapmaq olar:

(4.80)

(4.74)-dən istifadə etsək, alarıq:

,

çünki nöqtəsinin tərifinə görə və S sferası üzə­rin­də . (4.78) düsturundan və (4.77), (4.80) münasibət­lərin­dən istifadə edərək, alarıq:

Beləliklə, (4.76) düsturuna görə funksiyası belə olar:

(4.81)

Başlanğıc nöqtəsi sferanın mərkəzində olan sferik koordinat sistemi götürək. Tutaq ki, - M nöqtəsinin, isə P nöqtəsinin koordinatlarıdır.

və radius-vektorları arasındakı bucaqdır. Onda (4.81) düsturunu belə yazmaq olar:

(4.82)

burada

. (4.82)

(4.82)-yə sfera üçün Puasson inteqralı deyilir.

Məsələ 4.5. Dairə üçün Qrin funksiyasını qurmalı və Dirixle məsələsini həll etməli.

Həlli. Qrin funksiyası dairə üçün də sfera üçün olduğu kimi alına bilər. Bu halda funksiyanı

(4.83)

şəklində axtarmaq lazımdır. Bundan əvvəlki məsələdəki (4.73) düsturundan (4.75) düsturuna qədər olan mühakimələri təkrar etsək, G funksiyasını belə taparıq:

, (4.84)

b urada - dairənin radiusudur (şəkil 4.2).

Asanlıqla göstərmək olar ki, bu qayda ilə ta­pı­lan harmonik funk­siya sər­həd üzərində sıfra çev­ri­lir: .

Birinci sərhəd məsələ­sini həll etmək üçün -in qiymətini S çev­rəsi üzə­rində hesablamaq lazımdır.

Hesablama sfera üçün olduğu kimi aparılır və

alınır.

Tutaq ki, çevrə üzərində yerləşən m nöqtəsinin və P nöqtəsinin koordinatlarıdır, onda

,

və ya

olduğunu nəzərə alsaq və -ın yuxarıdakı qiymətini

düsturunda yerinə yazsaq, funksiyası üçün

(4.85)

ifadəsini alarıq. (4.85) inteqralına dairə üçn Puasson inteqralı deyilir.