Vahid radiuslu dairənin daxilində harmonik olan və sərhəd şərtini ödəyən funksiyasını tapın.

2.

Cavab:

3.

Cavab:

4.

Cavab:

5.

Cavab:

Düzbucaqlı oblastının daxilində Laplas tənliyini, oblastın sərhəddində verilmiş sərhəd şərtlə­ri­ni ödəyən funksiyasını tapın.

6.

Cavab:

Həlli:

məsələsinin həlli şəklində axtarılır. Dəyişənləri ayırdıqda funksiyası üçün

(*)

məsələsi, -üçün

tənliyi alınır. (*) məsələsinin məxsusi qiymətləri

,

məxsusi funksiyaları

,

olduqda tənliyinin ümumi həlli

olur. Beləliklə, verilmiş məsələnin həllini

(**)

sırası şəklində yazmaq olar.

və əmsalları sərhəd şərt­lərindən tapılır:

burada

olduğunu nəzərə alaraq, əmsalların alınan qiymətlərini (**)-da yerinə yazsaq, məsələnin cavabda göstərilən həllini alarıq.

7. ,

,

Cavab:

8. ,

Cavab:

9. ,

Cavab:

10. ,

Cavab:

11. ,

Cavab:

Verilmiş sərhəd şərtlərində Laplas tənliyinin oblastında həllini tapın.

12. ,

Cavab:

Həlli:

məsələsinin həlli

şəklində axtarılır. həllin axtarılan ifadəsini tənlikdə yerinə yazaraq dəyişənləri ayırsaq və şərtlərini nəzərə alsaq

(4.96)

məsələsini və

(4.97)

tənliyini alırıq.

(4.96) məsələsini həll edərək, məxsusi qiymət və məxsusi funksiyaları tapaq:

şərtindən

şərtindən

alınır. Onda

olur. -ları (4.97) tənliyində -nın yerinə yazsaq, onun ümumi həllini

şəklində, məsələnin həllini isə

(4.98)

sırası şəklində yazmaq olar, burada və ixtiyari sabit ədədlərdir. (4.98) funksiyasının şərtini ödəməsi üçün olmalıdır. şərtindən

alınır. Beləliklə -ları funksiyasının məxsusi funksiya­lar üzrə Furye sırasına ayrılışının əmsalları, yəni

,

buna görə də, məsələnin həlli

olur.

13.

Cavab:

burada -lar tənliyinin müsbət kökləridir.

14.

Cavab:

15.

Cavab:

burada, -lar tənliyinin müsbət kökləridir.

Verilmiş sərhəd şərtlərini ödəyən və dairəsinin daxilində harmonik funksiyasını tapın.

16.

Cavab:

Göstəriş: dairə daxilində

Dirixle məsələsinin həllinin

ifadəsində qəbul edərək, əmsallarını

düsturlarından istifadə edərək hesablayın.

17.

Cavab:

Dairə daxili üçün neyman məsələlərini həll edin.

18.

Cavab:

burada - ixtiyari sabitdir,

19.

Cavab: - ixtiyari sabitdir.

Göstəriş: 18-ci məsələnin həllinin düsturlarını tətbiq edin.

20.

Cavab:

21.

Cavab:

22.

Cavab:

23. Dairə xaricində Dirixle məsələsini həll edin.

Cavab:

Göstəriş:

məsələsinin həllinin olduqda məhdud­luq şərtinin ödənməsi üçün

funksiyasında qəbul etmək lazımdır.

24. Dairə üçün Dirixle məsələsini ikiqat lay potensialını tətbiq etməklə həll edin.

Cavab: uyğun inteqral tənliyin həlli

olur, - dairənin radiusu, - dairənin konturudur.

Göstəriş: Radiusu olan çevrənin konturu olarsa,

,

üçün tənlik

və ya

olur, burada .

Daxili məsələdə olduğu kimi uyğun çevirmələrdən sonra həll üçün cavabda göstərilən Puasson inteqralı alınır.

25. Sadə lay potensialından istifadə edərək dairə üçün daxili Neyman məsələsini həll edin.

Cavab:

- ixtiyari sabitdir.

170