4.6. Potensialların sərhəd məsələlərinin həllinə tətbiqi

Bir çox hallarda diferensial tənliklər üçün Koşi və sərhəd məsələlərinin həllini uyğun inteqral tənliklərin həllinə gətirmək əlverişli olur. Sərhəd məsələlərinin inteqral tənliklərə gətiril­mə­sinin ideyası ondan ibarətdir ki, sərhəd məsələlərinin həlli xü­susi inteqrallar şəklində, məsələn, paylanma sıxlığı məlum olmayan potensiallar şəklində axtarılır.

Əvvəlcə potensialların bəzi xassələrini nəzərdən keçirək.

Həcm potensialı. Üçölçülü fəzanın hər hansı P nöqtə­sin­də yerləşdirilmiş yükünün yaratdığı elektrostatik sahənin bu fəzanın M nöqtəsindəki potensialı

olar, burada - M və P nöqtələri arasındakı məsafədir.

Əgər nöqtələrində yükləri yerləş­di­rilmişdirsə, bu yük­lərin yaratdığı elektrostatik sahənin potensialı

. (4.86)

olar.

Tutaq ki, D oblastında yüklər sıxlığı ilə yerləş­diril­mişdir. P nöqtəsini özün­də saxlayan həcmində qiyməti olan yük yerləşir. Bu yükün yarat­dığı sahənin po­ten­sialının təqribi qiyməti

olar. D oblastında yerləşdirilmiş yüklərin yaratdığı sahənin potensialı isə

(4.87)

şəklində yazılar.

(4.87) inteqralına həcm potensialı deyilir. İkiölçülü fəzada (müstəvidə) həcm potensialının ifadəsi aşağıdakı kimi olar:

. (4.88)

Xassə 1. Məhdud sıxlıqlı həcm potensialı hər yerdə təyin olunmuşdur və kəsilməzdir.

Xassə 2. Həcm potensialının M nöqtəsinin koordinatlarına görə birinci tərtib hər yerdə kəsilməz törəmələri vardır.

Xassə 3. Həcm potensialı yüklərin (kütlələrin) yerləşdiyi D oblastının xaricində harmonik funksiyadır.

Xassə 4. D oblastının nöqtələrində həcm potensialı

(4.89)

tənliyini ödəyir.

Xassə 5. Əgər D sonlu oblastdırsa və olarsa, onda M nöqtəsi sonsuzluğa yaxınlaşdıqda həcm poten­sialı sıfra yaxınlaşır.

Xassələrin isbatı «Riyazi fizika tənlikləri» kursuna aid ədəbiyyatlarda verilmişdir [1,12].

Sadə lay potensialı. Tutaq ki, yüklər (kütlələr) S səthində sıxlığı ilə paylanmışdır. Bu yüklərin yaratdıqları sahənin potensialı

(4.90)

olar. Bu inteqrala sadə lay potensialı deyilir.

olduğunu fərz edərək, sadə lay poten­sia­lının bəzi xassələrini nəzərdən keçirək.

Xassə 1. Sadə lay potensialı hər yerdə təyin olunmuşdur.

Xassə 2. Sadə lay potensialı hər yerdə kəsilməzdir.

Xassə 3. Sadə lay potensialı S səthinin nöqtələrindən başqa hər yerdə harmonik funksiyadır.

Xassə 4. Əgər S səthi məhduddursa, olduqda sadə lay potensialı sıfra yaxınlaşır.

Xassə 5. Sadə lay potensialının S səthinin nöqtələrində nor­mal törəmələrinin sıçrayışına malik birinci növ kəsil­mə nöqtələri vardır.

İ kiqat lay potensialı. Tutaq ki, bir-birindən h məsafədə olan P₁ və P₂ nöqtələrində - və yükləri yerləşdirilmişdir. Bu dipolun yaratdığı elektrostatik sahənin potensialı

və ya

olar, burada , törəmə (dipolun oxu) istiqamətində he­sab­lanır. kə­miy­yətinə dipo­lun momenti deyilir. Əgər dipolun v momentini dəyişmədən (bu halda yükünün qiymətini artırmaqla) P₁ və P₂ nöqtələrini bir-birinə yaxınlaşdırsaq, limitdə ( olduqda) P nöqtə­sində yerləşmiş nöqtəvi dipol alarıq. Bu dipolun potensialı

olar, burada P nöqtəsinin koordi­natla­rı­na görə dipolun oxu istiqamətində hesab­lanmış törəmədir.

Tutaq ki, iki tərəfli S sət­hində dipollar sıxlığı ilə elə yer­ləşdirilmişdir ki, onların ox­ları hər bir nöqtədə normalın müs­bət istiqaməti ilə üst-üstə düşür.

Onda bu dipolların yaratdığı sahənin potensialına bərabər olan

(4.91)

inteqralına ikiqat lay potensialı deyilir (şəkil 4.4).

Xassə 1. İkiqat lay potensialı hər yerdə təyin olunmuşdur.

Xassə 2. S səthində yerləşməyən M nöqtələrində ikiqat lay potensialı harmonik funksiyadır.

Xassə 3. Əgər S səthi sonlu oblastda yerləşirsə ol­duqda ikiqat lay potensialı sıfra yaxınlaşır.

Xassə 4. Əgər momentlərin sıxlığı S səthində kə­sil­məzdirsə, onda ikiqat lay potensialının S səthinin nöqtələrində sıçrayışı olan birinci növ kəsilmə nöqtələri vardır.

Potensialların qeyd olunmuş xassələri onlardan sərhəd mə­sələlərinin həll etmək üçün əlverişli aparat kimi istifadə etmək imkanı yaradır. Bunu aşağıdakı məsələ üzərində göstərək.

Məsələ 4.6. C çevrəsi ilə məhdudlanmış və radiusu R olan dairə üçün birinci sərhəd məsələsini həll etməli.

Həlli. Məsələnin riyazi qoyuluşunu yazaq:

, , (4.92)

burada S – çevrənin qövsünün uzunluğudur.

Məsələnin həllini ikiqat lay potensialı şəklində axtaraq:

. (4.93)

Ç evrənin hər bir M nöqtəsində (şəkil 4.5)

(4.94)

olduğundan sərhəd şərtlərindən -i təyin etmək üçün aşağıdakı inteqral tənliyi alırıq:

. (4.95)

(4.95) tənliyinin həllini

şəklində axtaraq, burada A ixtiyari sabitdir.

Bu funksiyanı (4.95)-də yerinə yazsaq,

alarıq. Buradan

və ya

.

Beləliklə,

.

Deməli, sərhəd məsələsinin həlli aşağıdakı kimi olar:

və ya

.

-dən (şəkil 4.6) alarıq :

,

buna görə də

Puasson inteqralını alırıq.

Analoji olaraq, digər sərhəd məsələlərini də potensialların köməyi ilə həll etmək olar. Məsələn, Laplas tənliyi üçün ikinci sərhəd məsləsinin həllini sıxlığı məlum olmayan ikiqat lay potensialı şəklində axtarmaq lazımdır.

Müstəqil həll etmək üçün məsələlər

1. Düzbucaqlı oblastında Neyman məsələsinin qoyuluşunu yazın.

Cavab: