3.Кинематика твердого тела. Число степеней свободы. Поступательное движение твердого тела.

Кинематика твердого тела.

Для нахождения кинематического закона движения, т.е. r=r(t) или х = х(t), у=y(t), z=z(t) надо найти закон движения каждой точки тела, т.е. решить бесконечно большое число уравнений, что сопряжено с непреодолимыми математическими трудностями.

Однако особенности самого твердого тела и особенности его движения могут значительно упростить задачу.

Число степеней свободы.

Числом степеней свободы называют число независимых механичес­ких координат полностью и однозначно определяющих положение тела в пространстве. Или: число независимых механических движений, которые одновременно может совершать тело.

Из таких определений следует, что число степеней свободы для свободной материальной точки равно 3. Для совокупности из n невзаимодействующих между собой точек число степеней свободы равно 3n.

Любые связи (взаимодействия) ограничивают число степеней сво­боды. Например, точка двигается по поверхности, задаваемой уравнением F(x,y,z)=0. В этом случае необходимо задать независимо 2 координаты, третья же не является независимой - она определяет­ся из уравнения поверхности, по которой движется точка. Иначе говоря, для точки, движущейся по поверхности, число степеней сво­боды равно 2. Для точки, движущейся вдоль линии, число степеней свободы равно 1. Действительно, любую линию можно пересечением двух поверхностей, т.е. для определения положения точки в пространстве нужно указать независимо только одну координату, две другие же определяются из уравнения линии.

Рассмотрим теперь систему точек, связанных жесткими связями. Пусть таких точек 2 (рис. 7). Для определения положения одной из точек системы в пространстве нужно указать 3 координаты, т.е. эта часть системы обладает 3-мя степенями свободы. Если эту точ­ку закрепить неподвижно, у системы будет отнято 3 степени свободы. Вторая точка при этом может двигаться только по поверхности сферы, т.е. обладает 2-мя степенями свободы. Следовательно, вся система обладает 5-ю степенями свободы.

Рис. 7 Рис. 8

Аналогично определяется число степеней свободы для системы, состоящей из трех жестко связанных между собой точек (рис. 8). Если одну из точек системы закрепить, у системы отнимается 3 степени свободы При закреплении второй точки дополнительно отнимается еще а степени свободы При этом третья точка сможет двигать­ся только вдоль линии, т.е. обладает одной степенью свободы. поэтому вся система обладает 6-ю степенями свободы. Легко убедиться» что добавляя к такой системе 4-ю, 5-ю и т.д. точки, мы не увеличим число степеней свободы, т.е. максимальное число степеней свободы для системы жестко связанных между собой точек равно. Абсолютно твердое тело как раз представляет собой такую систему, следовательно, обладает 6-ю степенями свободы.

( продолжение) 2.Кинематика твердого тела. Число степеней свободы. Поступательное движение твердого тела.

ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА.

Поступательным называют такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в теле, при движении тела остается параллельной самой себе. Будем рассматривать движение абсолютно твердого тела. Выделим в теле произвольно т. т. А₁ и В₁. Через промежуток времени t они займут положения А₂ и В₂ соответственно (рис. 9).

Рис. 9

Эти положения можно задать векторным способом, указав радиус-векторы r_a1, r_b1, r_a2, r_b2. Перемещения точек равны r_a, и r_b . Векторы (A₁B₁)и (A₂B₂) равны между собой, так как равны их модули (тело абсолютно твердое) и одинаковы направления (тело перемещается поступательно).

Поэтому перемещения точек А и В равны (r_a = r_b) Поскольку точки выбирались произвольно, можно сделать вывод, что при поступательном движении тела все его точки совершают одинаковые перемещения. По определению:

т.е. и скорости всех точек тела одинаковы. Аналогично можно показать, что и ускорения всех точек тела одинаковы. Следовательно, при поступательном движении все точки тела движутся одинаково и для описания движения тела достаточно рассмотреть движение только одной его точки (чаще всего центра масс тела). Пример поступа­тельного движения - движение кузова автомобиля на прямолинейном участке дороги.