5. Решение двойственной задачи

Составим и найдем решение двойственной задачи к задаче, решенной графическим и симплекс-методом.

Прямая задача:Двойственная задача:

Найти , чтобыНайти , чтобы

F (x)= приZ(u)=

Решение прямой задачи:

F(x) = 480

Соответствующие условия «дополняющей нежесткости» первой и второй группы выглядит следующим образом:

	Первая группа

	Вторая группа

Из условий первой группы, так как

следует, ограничение по заработной плате не лимитирует оптимальную программу, т.е. . Так какпо оптимальной программевыпускаются 2 изделия ипри условии из второй группы условий «дополняющей нежесткости» получаем систему уравнений:

;

При этом доход составит

6. Расчет функции предельной эффективности ресурсов (теневых цен), поступающих на данное предприятие.

Рассмотрим изменение предельной эффективности ресурса «материалы».

При увеличении его запаса от 0 до запаса в точке А(0;38) (рис.1.9) решение будет находиться на оси , т.е. будет выпускаться только изделие №2 и согласно условию «дополняющей нежесткости» первой группы ограничения по амортизационным отчислениям и заработной плате будут иметь нулевые цены . Поскольку выпускается только изделие №2, из условия «дополняющей нежесткости» получаем: . То есть при изменении запаса «материалов» от 0 до его расхода в т. А (4.8 *0+ 3 * 38 = 114)его эффективность (теневая цена, двойственная оценка) будет равна .

При дальнейшем увеличении запаса материалов оптимальное решение будет находиться на прямой амортизации до точки М (рис.2), т.е. ресурс по материалам и амортизации будет активен, а ресурс по заработной плате – пассивен, имеет нулевую оценку ( ). Используя условие «дополняющей нежесткости» первой и второй группы получаем тот же ответ, что и при решении двойственной задачи, т.е. , ; .

Подставляя координаты точки М в уравнение «материалов», получаем его расход равный ед., что полностью совпадает с графическим решением. То есть в пределах от 114 до предельная эффективность ресурса «материалы» будет .

Дальнейшее увеличение запасов «материалы» не имеет смысла, так как этот ресурс будет в избытке, т.е. его цена будет равна 0.

A

38

B

C

D

О 25 30.75

Рис.1.9

62.5

38 A

B

M

C

D

O 25 30.75 57

Рис.2

Рассмотрим изменение предельной эффективности ресурса «амортизация». При увеличении его запаса от 0 до запаса в точке D(25;0) (рис.2.1) решение будет находиться на оси , т.е. будет выпускаться только изделие №1. Согласно условиям «дополняющей нежесткости» первой группы ограничения по материалам и заработной плате будут иметь нулевые цены: . Поскольку выпускается только изделие №1, из условия «дополняющейнежёсткости» получаем = .

То есть при изменении запаса ресурса «амортизации» от 0 до его расхода в точке D (6 *25 + 9 *0 = 150) эффективность(теневая цена, двойственная оценка) ресурса будет равна .

При дальнейшем увеличении запаса «амортизации» оптимальное решение будет находиться на прямой «заработанная плата» до точкиС (рис.2.2). Используя условия «дополняющейнежесткости» и ,получаем = .

Подставляя координаты точки в уравнение амортизации получаем его расход равный . То есть в пределах от 150 до предельная эффективность ресурса «амортизация» будет

При дальнейшем увеличении запаса материалов оптимальное решение будет находиться на прямой «материалы» до точки A’ (рис. 2.3). Используя условие «дополняющей нежесткости» первой и второй группы получаем тот же ответ, что и при решении двойственной задачи, т.е. , ; .

Подставляя координаты точки A’ в уравнение «амортизации», получаем его расход, равный 442.8 ед., что полностью совпадает с графическим решением. То есть в пределах от до 442.8 предельная эффективность ресурса «амортизация» будет .

Дальнейшее увеличение запасов «амортизация» не имеет смысла, так как этот ресурс будет в избытке и его цена будет равна 0.

A

38

B

C

D

O 25 30.75 57

Рис.2.1

38 A

B

C

D

O25

Рис.2.2

A’

49.2

38 A

B

C

D

O2530.75

Рис.2.3

Сводим полученные данные в таблицу и изображаем их на графике.

Функция предельной эффективности ресурса «материалы» (рис. 2.3):

Предельная эффективность, ,тыс. руб.	12		0
Запас ресурса (материалы), r, тыс.руб	0-20	20-58,57	58,57 - ∞

Зависимость максимума выручки(дохода) от запаса материалов (рис. 2.4):

MaxF(x)тыс.руб.	12r	240+ r	497,14
Запас,r, тыс. руб.	0-20	20-58,57	58,57 - ∞

12

102058,57r

Рис. 2.3. Изменения предельной эффективности ресурса «материалы»

497

240

102058,57r

рис. 2.4. Изменения максимума дохода в зависимости от запаса материалов

Функция предельной эффективности ресурса «амортизация» (рис.2.5):

Предельная эффективность, , руб.	8		0
Запас ресурса(материалы), r, тыс.руб	0-44	44-176	176 - ∞

Зависимость максимума выручки(дохода) от запаса ресурса «амортизация» (рис. 2.6):

MaxF(x) тыс. руб.	8r	352+ r	528
Запас,r, тыс. руб.	0-44	44-176	176 - ∞

8

4/3

44 176r

Рис. 2.5. Изменения предельной эффективности ресурса «амортизация»

528

352

44 176r

Рис. 2.6. Изменения максимума дохода в зависимости от запаса амортизации