Раздел 6.

1. Постановка задачи прохождения сс через линейную рэц. Закон распределения сс на выходе линейной рэц

Постановка задачи: известны статистические свойства входного случайного колебания, например, , известны характеристики цепи и . Определим статистические свойства выходного сигнала .

В общем случае эта задача практически не решается. Решение задачи возможно лишь в двух частных случаях, а именно:

1) – нормальный стационарный СС. Тогда тоже нормальный СС, следовательно, для решения поставленной задачи нужно найти математическое ожидание , дисперсию , АКФ и энергетический спектр .

2) Полоса пропускания линейной цепи много меньше ширины спектра входного СС, то есть цепь является узкополосной.

В этом случае при любом законе распределения входного сигнала выходной сигнал будет всегда нормальным СС. Здесь наблюдается явление нормализации СС в линейной цепи (доказательство в учебнике Гоноровского).

В дальнейшем будем рассматривать лишь такие задачи, где выходной сигнал линейной цепи является нормальным СС.

Таким образом, остается определить лишь , , , .

2. Математическое ожидание сс на выходе линейной цепи.

Пусть Х_вх(t) – стационарный СС с известным математическим ожиданием m_{х вх}.

Свяжем между собой входную и выходную реализации СС, используя временной метод.

- интеграл свертки.

Проведем усреднение по ансамблю реализаций

– переходная характеристика цепи (реакция на единичный скачок);

Это означает, что при стационарном входном СС выходной СС является нестационарным.

Так как в реальной линейной цепи длительность переходного процесса всегда ограничена , то при – постоянно.

Пример:

;

;

3. Энергетический спектр сс на выходе линейной цепи.

Пусть – стационарный эргодический СС с . Известен энергетический спектр входного сигнала и . Найти .

Возьмем одну достаточно протяженную реализацию входного СС . Вырежем из нее кусочек продолжительностью .

– усеченная реализация входного СС (детерминированная функция). Этой усеченной реализации будет соответствовать реализация .

Допустим, что выходной СС тоже является эргодическим с нулевым .

Определим энергетический спектр выходного СС через амплитудный спектр его усеченной реализации .

Заметим, что энергетический спектр СС на выходе линейной цепи не зависит от ФЧХ цепи, а зависит только от АЧХ, так как энергетический спектр показывает распределение средней мощности.

Пример: пусть входной сигнал «белый шум».

Тогда энергетический спектр выходного сигнала:

4. Акф и дисперсия сс на выходе линейной рэц.

Зная энергетический спектр СС на выходе линейной цепи можно найти его АКФ, пользуясь преобразованием Винера-Хинчина:

Можно найти АКФ на выходе цепи через АКФ на входе

, где - АКФ импульсной характеристики цепи.

Дисперсия

Пример: пусть на входе стационарный гауссовский белый шум:

На практике при воздействии на линейную цепь белого шума удобно выражать дисперсию выходного сигнала через шумовую полосу пропускания цепи .

Заметим, что обычная полоса пропускания цепи находится так: заменяется прямоугольником не квадрат АЧХ, а просто АЧХ.

Вывод: при воздействии на линейную цепь белого шума дисперсия СС на выходе цепи (средняя мощность) пропорциональна шумовой полосе пропускания цепи.