11. Линейные операции над векторами (сложение, вычитание, умножение на скаляр; свойства линейных операций).

Вектором называется направленный отрезок  ; точка   - начало, точка   - конец вектора.

Линейными операциями над векторами называются операции сложения векторов и умножения вектора на число.

Сложение и вычитание векторов.

Сложение векторов   и   осуществляется по правилу треугольника.

Суммой   двух векторов   и   называют такой третий вектор  , начало которого совпадает с началом  , а конец - с концом   при условии, что конец вектора   и начало вектора   совпадают.

Для сложения векторов применяется также правило параллелограмма.

Правило параллелограмма - если два неколлинеарных вектора   и   привести к общему началу, то вектор   совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах   и   (рис. 2). Причем начало вектора   совпадает с началом заданных векторов.

Вектор   называется противоположным вектором к вектору  , если он коллинеарен вектору  , равен ему по длине, но направлен в противоположную сторону вектору  .

Операция сложения векторов обладает следующими свойствами:

 - коммутативность

 - ассоциативность

Разностью   векторов   и   называется вектор   такой, что выполняется условие:   (рис. 3).

Умножение вектора на число

Произведением   вектора   на число   называется вектор  , удовлетворяющий условиям:

1. 

2. 

3. , если  ,  , если  .

Свойства умножения вектора на число:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

Здесь   и   - произвольные векторы,  ,   - произвольные числа.

13. Арифметические векторы. Определение. Основные понятия. Линейные операции над арифметическими векторами и их свойства.

Если на плоскости ввести систему координат, каждому вектору будет соотв. пара чисел (координат вектора). — вектор а (а1;а2).  ОПР: Арифметическим и n-мерным вектором называется любая последовательность из n чисел (а1 … аn ) или вектор n с его координатами. (а1 … аn ) – координаты вектора.  ОПР: Суммой двух векторов называют вектор, координаты которого равны сумме соответствующих координат этих векторов.  Свойства:

1. a+b= b+a.

2. (a+ b)+ c= a+ (b+ c).

3. Нулевым вектором будет называться вектор, у которого все координаты – нули: a(0, …, 0)=0, a+ 0= a.

4. Вектор с координатами (-a1, -a2, …, -an) будет называться противоположным вектору а, а+ (-а)= 0.  ОПР: Под произведением вектора на число будем подразумевать вектор, координаты которого умножены на данное число. С * вектор а = (са1,са2,…,саn)  Свойства:

1. k(a+ b)= ka+ kb а и b векторы.

2. (k+m)a= ka+ ma a – вектор.

3. k(la)= (kl)a a – вектор.

4. 1a= a, a – вектор.

15. Проекция вектора на ось. Теоремы о проекциях.

Пусть задан вектор   и некоторая ось   с единичным вектором  . Точки   и   - проекции точек   и   на ось  соответственно.

Проекцией вектора   на ось   называется длина отрезка  , взятая со знаком "+", если направление   совпадает с направлением вектора  , и со знаком "-", если направление  противоположно направлению единичного вектора оси   (рис. 1).

Проекция вектора   на ось   обозначается символом  .

Свойства проекции векторов:

Проекции равных векторов на одну и туже ось равны.

Вектор   и его проекция - вектор   - связаны следующим векторным равенством:

Проекция вектора   на некоторую ось   равна проекции на эту же ось вектора  , умноженного на число  :

Проекция вектора   на ось   равна произведению модуля этого вектора на косинус угла между ним и положительным направлением оси на некоторую ось  :