21. Простейшие задачи аналитической геометрии (расстояние между точками, деление отрезка в заданном отношении).

  Расстояние между двумя точками 

где   и   радиус-векторы точек   и  .

     В координатах:

     на прямой   

     на плоскости   

     в пространстве   

     Деление отрезка в данном отношении   

     В координатах:

     на прямой    ;

     на плоскости    ,    ;

     в пространстве    ,    ,   

     Середина отрезка ( = 1) 

     В координатах:

     на прямой    ;

     на плоскости    ,    ;

     в пространстве    ,    ,    .

23. Общее уравнение прямой на плоскости.

Теорема:

Всякое уравнение первой степени с двумя переменными x и y вида  , где А, В и С – некоторые действительные числа, причем А и В одновременно не равны нулю, задает прямую линию в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости, и всякая прямая на плоскости задается уравнением вида  .

Уравнение   называется общим уравнением прямой на плоскости.

Поясним смысл теоремы.

Заданному уравнению вида   соответствует прямая на плоскости в данной системе координат, а прямой линии на плоскости в данной системе координат соответствует уравнение прямой вида  .

Посмотрите на чертеж.

С одной стороны можно сказать, что эта линия определяется общим уравнением прямой вида  , так как координаты любой точки изображенной прямой удовлетворяют этому уравнению. С другой стороны, множество точек плоскости, определяемых уравнением  , дают нам прямую линию, приведенную на чертеже.

Общее уравнение прямой называется полным, если все числа А, В и С отличны от нуля, в противном случае общее уравнение прямой называется неполным. Неполное уравнение прямой вида   определяют прямую, проходящую через начало координат. При А=0 уравнение   задает прямую, параллельную оси абсцисс Ox, а при В=0 – параллельную оси ординат Oy.

Таким образом, любую прямую на плоскости в заданной прямоугольной системе координат Oxy можно описать с помощью общего уравнения прямой при некотором наборе значений чисел А, В и С.

Нормальный вектор прямой, заданной общим уравнением прямой вида  , имеет координаты  .

Все уравнения прямых, которые приведены в следующих пунктах этой статьи, могут быть получены из общего уравнения прямой, а также могут быть обратно приведены к общему уравнению прямой.

25. Угол между прямыми, условия параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости.

Если две плоскости   и   заданы общими уравнениями вида:

 

Под углом между плоскостями   и   понимается один из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Очевидно, что угол между   и   равен углу между их нормалями, то есть между векторами  1  и  2 . Из формулы   получаем, что косинус угла между плоскостями    и   равен .

 

Условие параллельности плоскостей (рис.б) заключается в параллельности нормалей  , а условие перпендикулярности плоскостей – в перпендикулярности нормалей  или равенстве нулю их скалярного произведения:  .

 

 

Для нахождения острого угла следует взять модуль правой части.

Если плоскости   и   перпендикулярны, то таковы же их нормали,  т. е.   и наоборот.