27. Эллипс, его каноническое уравнение.

Эллипсом называется геометрическое место точек на плоскости, для

которых сумма расстояний от них до двух фиксированных точек плоскости,

называемых фокусами, есть величина постоянная и она больше расстояния

между фокусами. (Обычно расстояние между фокусами обозначается как 2с).

Исходя из этого определения эллипса, его можно легко нарисовать

следующим образом. Если на место фокусов вбить два гвоздя и на них

набросить петлю из нитки, длина которой больше удвоенного расстояния

между фокусами, а затем концом карандаша натянуть нить, то, перемещая

карандаш по листу бумаги, мы нарисуем эллипс. Типичный рисунок эллипса

с фокусами F1 и F2 расположенными на оси x симметрично оси y приведен

ниже.

Каноническое уравнение:

29. Парабола, ее каноническое уравнение, исследование формы параболы по ее уравнению.

Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой.

Каноническое уравнение:

31. Уравнение плоскости в отрезках. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Уравнение плоскости в отрезках:

33. Прямая в пространстве, ее общие и канонические уравнения.

Положение прямой в пространстве вполне определяется заданием какой-либо её фиксированной точки М₁ и вектора  , параллельного этой прямой.

Вектор  , параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Итак, пусть прямая l проходит через точку М₁(x₁, y₁, z₁), лежащую на прямой параллельно вектору  .

Рассмотрим произвольную точку М(x,y,z) на прямой. Из рисунка видно, что  .

Векторы   и   коллинеарны, поэтому найдётся такое число t, что  , где множитель t может принимать любое числовое значение в зависимости от положения точки M на прямой. Множитель t называется параметром. Обозначив радиус-векторы точек М₁ и М соответственно через   и  , получаем  . Это уравнение называется векторным уравнением прямой. Оно показывает, что каждому значению параметра t соответствует радиус-вектор некоторой точки М, лежащей на прямой.

Запишем это уравнение в координатной форме. Заметим, что  ,   и   отсюда 

Полученные уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

При изменении параметра t изменяются координаты x, y и z и точка М перемещается по прямой.

КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ

П усть М₁(x₁, y₁, z₁) – точка, лежащая на прямой l, и   – её направляющий вектор. Вновь возьмём на прямой произвольную точку М(x,y,z)и рассмотрим вектор  .

Ясно, что векторы   и   коллинеарные, поэтому их соответствующие координаты должны быть пропорциональны, следовательно,

 – канонические уравнения прямой.

Замечание 1. Заметим, что канонические уравнения прямой можно было получить из параметрических,исключив параметр t. Действительно, из параметрических уравнений получаем   или  .

Пример. Записать уравнение прямой   в параметрическом виде.

Обозначим  , отсюда x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Замечание 2. Пусть прямая перпендикулярна одной из координатных осей, например оси Ox. Тогда направляющий вектор прямой   перпендикулярен Ox, следовательно, m=0. Следовательно, параметрические уравнения прямой примут вид 

Исключая из уравнений параметр t, получим уравнения прямой в виде

Однако и в этом случае условимся формально записывать канонические уравнения прямой в виде . Таким образом, еслив знаменателе одной из дробей стоит нуль, то это означает, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси.

Аналогично, каноническим уравнениям   соответствует прямая перпендикулярная осям Ox и Oy или параллельная оси Oz.

Примеры.

1. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М₁(1;0;-2) параллельно вектору  .

Канонические уравнения:  .

Параметрические уравнения: 

2. Составить уравнения прямой, проходящей через две точки М₁(-2;1;3), М₂(-1;3;0).

Составим канонические уравнения прямой. Для этого найдем направляющий вектор  . Тогда l:  .

ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ, КАК ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ

Через каждую прямую в пространстве проходит бесчисленное множество плоскостей. Любые две из них, пересекаясь, определяют ее в пространстве. Следовательно, уравнения любых двух таких плоскостей, рассматриваемые совместно представляют собой уравнения этой прямой.

Вообще любые две не параллельные плоскости, заданные общими уравнениями

определяют прямую их пересечения. Эти уравнения называются общими уравнениями прямой.