11.4. Попереднє опрацювання результатів польових вимірювань у полігонометрії

11.4.1. Попереднє опрацювання лінійних вимірів

Загальна формула обчислення довжини ліній траверсної полігонометрії має вигляд:

(ПАЇ)

де п - кількість укладень мірного дроту в лінію, що вимірювалась; /₀ - довжина дроту між нулями шкал; п,, з,- - передній та задній відліки шкал; AS_k - поправка за компарування дроту; AS_h - поправка за перевищення між задньою та передньою шкалами дроту (під час кожного його вкладання); AS_t - поправка за різницю температур дроту під час вимірювання та компарування; d - домір,

210

Планові геодезичні мережі

частина лінії (d < /₀), виміряна рулеткою; Ad_k - поправка за компарування

рулетки; Ad_h - поправка за перевищення між кінцями доміру; Ad_t - поправка за

різницю температур рулетки під час вимірювання та компарування; AS_H -

поправка за редукування (приведення) лінії до рівня моря; AS_r__K - поправка за

редукування на площину проекції Гаусса-Крюгера.

Якщо лінія виміряна світловідцалеміром, то загальна формула її довжини має вигляд:

(ІІ.4.2)

де S_t - середнє арифметичне значення відліків у режимі "точно" із урахуванням

відомої кількості кілометрів; AS_h - поправка за приведення нахиленої лінії до

горизонту; AS_n - поправка за середні температуру Т та тиск повітря Р

вздовж лінії; AS,- поправка за дрейф частоти кварцового генератора від

номінальної частоти; AS_y - поправка за циклічну похибку; AS_H та AS_r__K , як і у

(П.4.1) - поправки за редукцію лінії S на рівень моря та на площину проекції Гаусса-Крюгера.

11.4.2. Редукування довжин ліній на рівень моря і на площину Гаусса-Крюгера

Відповідно до рис. П.4.1 лінія S між точками А та В розташована на земній поверхні. Середня висота лінії:

(П.4.3)

S₀ - проекція цієї самої лінії на рівні моря; О - центр Землі; R₃ - радіус Землі. Необхідно знайти AS_H - різницю між S та S₀ :

(П.4.4)

Виконаємо просте, але достатньо точне розв'язання цієї задачі. Проведемо через точку В_х пряму, паралельну до АА_Х. Тоді відрізок В'В = AS_H.

Трикутники АБО та В'ВВ_Х - подібні. З їхньої подібності можемо записати:

AS_H S

сер J сер

ЗВІДКИ

AS_H=_Hcep.——-. (ІІ.4.6)

^К3 + ^Нсер

(11.4.5)

211

Розділ II

Враховуючи, що R₃ у багато разів більший за Н_сер,тобто R₃ »Н_сер. отже, Н можна знехтувати, тоді:

S

(П.4.7)

Рис. 11.4.1. Редукування лінії S на рівень моря

Отже,

S₀=S-AS_H. (II.4.8)

Розглянемо, з якою точністю необхідно знати Н та R₃. Продиферен-ціюємо (И.4.7) за змінними Н_сер та R₃ :

d(AS_H) S MA$_H)

Квадрат середньої квадратичної похибки поправки становитиме:

(П.4.9)

Нехай 5_тах = 3000 м, m_R = 300 м, Н_сер= 3000 м, т_н = 1 м. Тоді

отримаємо w^ = 0,47 мм. Другий член формули (П.4.9) дає 0,066 мм. Отже, радіус Землі можна знати з похибкою 300 м, але Н_сер потрібно знати з точністю 0,5 м, тоді похибка поправки т^ становитиме 0,24 мм при величині поправки

AS

Н

-1,4126 м.

212

Планові геодезичні мережі

Перейдемо до редукування лінії S на площину проекції Гаусса-Крюгера. Як відомо, суть цієї проекції можна зобразити геометрично, якщо Землю вважати сферою й частинами (6°-градусними зонами) проектувати на циліндр, радіус якого дорівнює радіусу Землі R₃ (рис. П.4.2). Циліндр, як відомо, розрізавши по твірній, можна розгорнути у площину.

На цьому рисунку ZAZ' - осьовий меридіан шестиградусної зони, який дотикається до циліндра. Від осьового меридіана через 3° показано пунктирами ще два меридіани. Ці меридіани не дотикаються до циліндра. Між осьовим та лівим і правим (пунктирними) меридіанами показана пунктиром лінія S₀ на сфері, яка також (окрім точки А) не дотикається до циліндра. Меридіани, показані пунктиром, спроектуємо на циліндр; вони видовжаться, дотикатимуться циліндра та показані суцільними лініями. Вся зона у проекції дещо збільшилася. Лінія S₀ спроектувалася на циліндр, видовжилась, і дорівнює S. Вона показана суцільною, потовщеною кривою. Лінія S на всій довжині дотикається до циліндра. Під час проектування сфери на поверхню циліндра Гаусе поставив умову, щоб зображення малої ділянки на циліндрі було подібне до відповідної ділянки на кулі. Кути між відповідними напрямками на кулі та циліндрі повинні бути однаковими. Таку проекцію називають конформною (рівнокутною), а всі лінії такої проекції - довші, ніж на сфері. На рис. П.4.2 для наочності показано ще одну лінію S^ у меридіані, що становить з осьовим кут в 90° і розміщена у перетині сфери площиною XOY. Ця лінія S'₀ не розміщена у шестиградусній зоні. Спроектуємо її радіусами-векторами на твірну циліндра, отримаємо лінію S', кінці якої мають ординати Y_x та Y₂ . Оскільки лінія S₀ не у шестиградусній зоні, то її проекція S значно довша. У різних точках меридіана ZQZ', з віддаленням від полюса Z, спотво­рення зростають, а в точці Q (на екваторі) спотворення сягають нескінченності. Рис. И.4.2 дає тільки геометричне уявлення суті проекції, що вже зазначалось.

Насправді, оскільки Земля не сфера, то завдання проектування ускладнюється й розв'язується в курсі сферичної геодезії. Формула видовження ліній AS_r__K складна, але видовження можна виразити доволі точно першим членом цієї формули:

(П.4.10)

де

213

(ПАН)

Розділ II

Рис. 11.4.2. До пояснення геометричної суті проекції Гаусса-Крюгера

Зауважимо, що поправки за редукування ліній на рівень моря на території України завжди від'ємні; навпаки, поправки редукування ліній на площину Гаусса-Крюгера завжди додатні. Завжди від'ємними є також поправки за приведення нахилених ліній до горизонту.

11.4.3. Опрацювання результатів кутових вимірювань на окремому геодезичному пункті

Нехай на деякому пункті кути вимірювали способом кругових прийомів. Припустимо, на цьому пункті було k напрямків, а під час вимірювання вико­нано п прийомів. Завданням попереднього опрацювання результатів вимірю­вань є встановити точність вимірювань. Визначимо середню квадратичну похибку вимірювання кутів на цьому пункті. Звернемося до рис. ІІ.4.3.

Можемо записати матрицю виміряних кутів:

214

Планові геодезичні мережі

Рис. 11.4.3. До вимірювання кутів на пункті Т (для k напрямків ma n прийомів)

Оскільки кутів на один менше ніж напрямків, то матриця кутів матиме (к -1) стовпчиків та п рядків. Усіх кутів буде (к - 1) • п . Визначимо середні значення одних і тих самих кутів, кожний з яких виміряний п разів, та знайдемо їхні найімовірніші похибки 5^ .

Лг—1

Матриця похибок також матиме п ■ (к -1) похибок. Проте виміряти всі кути одним прийомом необхідно. Тому надлишкових прийомів буде (п -1), а надлишкових вимірювань (п - 1)(к -1). Тому формула (формула Бесселя) серед­ньої квадратичної похибки, обчислена за найімовірнішими похибками вимірю­вання 5,₇, матиме вигляд:

(ПА 12)