14. Изгибаемые элементы

Изгибаемые элементы рассчитывают по первому и второму предельным состояниям, или иначе на прочность и жесткость. В расчете по первому предельному состоя­нию используют расчетную нагрузку, а при определении прогиба нормативную нагрузку, т. е. без учета коэффи­циента перегрузки.

Расчет деревянных элементов на изгиб по нормаль­ным напряжениям производят приближенно. При более точном методе потребовался бы учет различных значе­ний модулей упругости в сжатой и растянутой зонах (рис. III.5). Из этого рисунка видно, что в сжатой зоне развиваются большие пластические деформации, кото­рые нарушают прямолинейность распределения нормаль­ных напряжений по высоте сечения. Таким образом, нормальные напряжения определяют при двух допущени­ях: во-первых, считается, что модули упругости в растя­нутой и сжатой зонах равны, т.е. Е_С=Е_Р, и во-вторых, принимается прямолинейное распределение напряжений по высоте элемента, как это показано на рис. Ш.6.

При этих допущениях нормальные напряжения в эле­ментах, обеспеченных от потери устойчивости плоской формы деформирования:

При определении №_Нт ослабления сечений, располо­женные на участке длиной 200 мм, совмещаются в одно сечение; те — коэффициент, учитывающий размеры се­чения.

Прочность проверяют в сечении, где "действуют наи­большие изгибные напряжения и, кроме того\в тех сече­ниях, в которых имеются ослабления. При расчете бревен следует учитывать «сбег» бревна, который принима­ют 0,8 см на 1 м длины. Следует иметь в виду, что брев­на обладают большей прочностью на изгиб, в связи с чем их расчетное сопротивление изгибу больше, чем у досок и брусьев. Это связано с тем, что в бревнах нет перерезанных волокон, которые даже при наличии ко­сослоя имеют длину от одной опоры до другой и, кроме того, пороки имеют в бревнах меньшее влияние.

Известно, что Д. И. Журавским было установлено наличие в элементах, работающих на поперечный изгиб, не только нормальных, но также и касательных напря­жений, поэтому разрушение элемента может произойти как от нормальных, так и от касательных напряжений в зависимости от того, какие из них раньше достигнут предела прочности. Касательные напряжения особенно опасны, например при больших сосредоточенных гру­зах, расположенных недалеко от опор, или в балках двутаврового сечения.

В однопролетных элементах прямоугольного попереч­ного сечения, загруженных равномерно распределенной нагрузкой, разрушение от касательных напряжений бу­дет происходить при сравнительно небольшом отноше­нии длины к высоте поперечного сечения.

15. § 3.6. Сжато-изгибаемые элементы

Сжато-изгибаемыми элементами называются такие, на которые действует изгибающий момент и централь­но приложенное продольное сжимающее усилие. Изги­бающий момент может создаваться: а) внецентренно приложенной сжимающей силой и тогда элемент назы­вают внецентренно сжатым или б) поперечной нагруз­кой. При расчете сжато-изгибаемых деревянных стерж­ней применяют теорию краевых напряжений, предложен­ную проф. д-ром техн. наук К. С. Завриевым. В соответст­вии с этой теорией несущая способность стержня счита­ется исчерпанной в тот момент, когда краевое напряжение сжатию делается равным расчетному сопротивлению.

Эта теория менее точная, чем теория устойчивости, однако она дает более простое решение и поэтому при­нята в действующих нормах проектирования СНиП П-25-80.

Так как жесткость стержня не является бесконечной, то он под влиянием изгибающего момента прогибается.

При этом центрально приложенная сжимающая сила теперь уже будет иметь эксцентриситет, равный дефор­мации стержня от момента, и таким образом создаст дополнительный момент (рис. II 1.8). Появление допол­нительного момента от нормальной силы увеличит де­формацию стержня, что приведет к еще большему воз­растанию дополнительного момента. Такое наращивание дополнительного момента и прогибов будет некоторое время продолжаться, но затем затухнет.

Полный прогиб стержня и уравнение кривой неизве­стно, поэтому непосредственно по формуле краевых на­пряжений нельзя найти эти напряжения:

Так как в двух написанных уравнениях есть три неиз­вестных Ос, у, М_х, то следует найти еще одно уравнение. Всякую кривую можно аналитически выразить в виде ряда, который при этом должен быть быстро сходящим­ся и удовлетворять краевым значениям. Таким является тригонометрический ряд

Геометрическая интерпретация ряда показана на рис. Ш.9. Как видно, /v есть максимальная ордината кривой каждого члена ряда.

При симметричной нагрузке первый член ряда дает точность, равную 95—97 %. Для упрощения решения бу­дем считать нагрузку симметричной. Тогда можно огра­ничиться только первым членом ряда.

Однако третье уравнение принесло четвертое неизвест­ное fi. Поэтому вспомним строительную механику, где было показано, что вторая производная у" уравнения кривой деформирования равна изгибающему моменту, деленному на жесткость с обратным знаком, т. е.

d *yldx* = — MJEJ. (Ill. 30)

Тогда после дифференцирования уравнения кривой по­лучим

Приравняв значения (Ш.31) и (Ш.ЗО) получим

Теперь значение М_х из (III.32) и у из (111.29) под­ставим в выражение (111.28) и после преобразования, имея в виду, что n²EJ/l²=N_KP, a sin (я*//) при х=//2, где при симметричной нагрузке будет находиться мак­симальная ордината прогиба y_max=/i, равен единице, получим, что

Найденная зависимость позволяет решить вопрос об определении напряжений. Для этого /значение /i=#max из (Ш.ЗЗ) надо подставить в выражение (111.27):

с_с = NIF + M_qIW + NM_q/(N_KP — N)W. (III. 34)