3. Знакопеременные ряды. Абсолютные и условные сходимости. Признак Лейбница.

Знакопеременный ряды – ряды, с членами разных знаков.

Пусть дан ряд рассмотрим знакоположительный ряд

Теорема1. Если ряд сходиться, то - сходиться.

По свойствам сходимости рядов ряд – сходиться, т.к. для любого nЄN, 0 , то по признаку сравнения ряд - сходиться.

Значит ряд - сходиться.

Т.1. даёт достаточный признак сходимости, который не является необходимым. В связи с этим сформулируем определение 1:

• если ряд - сходиться, то говорят что ряд - сходиться абсолютно.

• если же ряд - сходиться, а ряд - расходиться, то говорят что сходиться условно.

Знакочередующиеся ряды

Опр.2 Ими называют - ряды, члены которых поочередно меняют знак: a₁-a₂+a₃-…

Где a₁,a₂,a₃…. – одного знака. Удобно применять запись

Признак Лейбница

Знакочередующийся ряд ( знаки членов которого строго чередуются) сходиться если:

1. Члены его убывают по абсолютному значению т.е. .

2. 

Замечание:

Признак Лейбница является достаточным, но не является необходимым.

Следствие 2.1

; ; Остаток не превышает по модулю первый из отброшенных членов.

Действительно остаток r_n представляет собой ряд Лейбница

4. Функциональные ряды

Определение . 1

Пусть (X), (x)… последовательность функций, определ-ых на некоторое множество X. Выражение вида назыв. — функциональным рядом.

Каждому значению соответствует числовой ряд , если последний ряд сходится, то назыв.— точкой сходимости.

Множество всех точе сходимости функционального ряда назыв.— областью сходимости.

Конечная сумма —n-ая частичная сумма ряда. А функция S(x)= S(x) — суммой ряда.

Область определения D(S(x)) — область сходимости.

Функция определенная на множестве D(S(x)) назыв. — n-ый остаток ряда. Сходимость ряда в точке назыв. — поточечной.

Функциональный ряд назыв. — абсолютно сходящимся на множестве , если , ряд то такой ряд сходится.

Опред. 2

Функциональный ряд назыв. — равномерно сходящимся в области D функции S(x), если , , .

Отличие равномерной сходимости от поточечной в том, что номер при равномерной сходимости зависит только от и не зависит от X. А при поточечной сходимости номер свой.

Поэтому из равномерной сходимости следует поточечная.

Дадим определение поточечной сходимости области ряда D.

, N(

Теорема 1. Признак ВЕЙЕРШТРАССА

Если члены ряда удовлетворяет неравенство , а ряд — сходится, то функциональный ряд — сходится равномерно в области D.

Числовой ряд из Теоремы 1 назыв. — мажорантым для функционального.

Теорема 2. О Непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда.

Если функциональный ряд с непрерывными членами сходится равномерно на множестве D, то его сумма S(x) непрерывна на множестве D.

Следствие 2.1

В равномерно сходящемся ряде с непрерывно сходящимися членами возможен переход к пределу, т.е.

S(x)=S(

Теорема 3. О почленном дифференцировании функционального ряда.

Если ряд с непрерывно дифференцированными на отрезке [a, b] членами сходится функция S(x) на отрезке [a,b], а сходится равномерно на [a,b], то ряд можно почленно дифференцировать на любом отрезке [a,b], его сумма S(x) непрерывно дифференцируемая функция и (x)= .

Теорема 4. О почленном интегрировании функциональных рядов.

Если функциональный ряд сходится равномерно S(x) на [a,b], то его можно почленно интегрировать на любом отрезке [a,b] и справедливо равенство