15. Тройной интеграл. Вычисление тройного интеграла.
Опр.
1 Пусть
функция f(x;y;z0
непрерывна в области V,
ограниченной поверхностью S.
Разобъем произвольным образом тело V
на элементарные тела
c
объемами
,
i=1…n.
В каждом из элементарных тел произвольным
образом выберем по точке с координатами
(
;
;
)
и составим интегральную сумму
.
Пусть S-
максимальный диаметр элементарных тел
,
т.е. наибольшее расстояние между точками
тела. Если существует конечный предел
,
не зависящий от способа разбиения и
выбора точек
,
то он называется тройным интегралом
ф-ии f(x;y;z)
по области V
и обозначается:
.
Поскольку понятие двойного и тройного
интеграла аналогичны, то и их свойства
аналогичны.
Можно показать, что если область V правильная в направлении оси Oz, т.е. любая прямая, параллельная оси Oz, пересекает границу области не более чем в двух точках, то тройной интеграл сводится к двойному.
Пусть D-проекция
тела V
на плоскость xоу,
сверху тело ограниченно поверхностью
z=
и z=
снизу. Тогда тройной интеграл
.
Пусть область D
правильная
в направлении оси Оу:
a b
Тогда
.
Замечание 1. Если область V неправильная, то ее следует разбить на правильные части и находить интеграл как сумму интегралов по правильным областям.
Замечание 2. Область V можно проинтегрировать на плоскости yoz и xoz, формулы будут аналогичны.
16.Замена переменных в тройном интеграле.
При вычислении тройного интеграла, так как и двойного, часто применяется метод подстановки, т.е совершается преобразование переменных.
Пусть совершена
подстановка
Если эти функции имеют в некоторой
области
(
)
непрерывные частные произвондные и
отличный от нуля определитель
.
I(
То справедлива формула замены переменных в тройном интеграле:
(4)
З
десь
I(
-определитель
Якоби, или якобиан преобразования .
Для
вычисления тройного интеграла часто
используют цилиндрические координаты.
Положение точки M(x,y,z)
в пространстве Оxyz
можно определить заданием трёх чисел
r,
.
Где r-длина
радиус-вектора проекции точки М на
плоскость Оxy,
угол,
образованный этим радиус-вектором с
осью Ох, z
– аппликата точки М. Эти три числа (r,
.)
называются цилиндрическими координатами
точки М. Цилиндрические координаты
точки связаны с декартовыми координатами
следующим соотношением: x=r
,
y=r
,
z=z.
Возьмём в качестве
цилиндрические координаты r,
и
вычислим якобиан преобразования.
I(
=
=r
Формула для замены (4) принимает вид:
Таким образом, вычисление тройного интеграла приводится к интегрированию по r, , аналогично тому как это делается в декартовых координатах. Замечание: к цилиндрическим координатам бывает удобно перейти в случае, если область интегрирования образована цилиндрической поверхностью.
С
ферическими
координатами точки М(x,y,z)
пространства Оxyz
называется тройка чисел p,
.
Где р – длина радиус вектора точки М,
угол,
образованный проекцией радиус-вектора
ОМ на плоскость Оху и осью Ох
В некоторых случаях вычисление тройного интеграла удобно производить, переходя к сферическим координатам .Для этого нужно пользоваться формулой замены переменных для тройного интеграла (4).Так как якобиан преобразования
I(p,
=p
sin
+
p cos
=
-
,
то
.
Замечание:
переходить к сферическим координатам,
удобно когда область интегрирования V
есть шар или его часть, а так же если
подинтегральная функция имеет вид f(