9. Определение, геометрический смысл, теорема о существовании двойного интеграла (ди)

Определение: Пусть функция f(x,y) непрерывна в области D .Разобьем область D произвольным образом на элементарные площадки с площадями

На каждой из частичных площадок произвольным образом выберем по точке и составим сумму: , назыв. интегральной суммой

Пусть . Если существует конечный предел ,который не зависит от способа разбиения на элементарные площадки и выбора точек , то он называется ДИ функции f(x,y) по области D и обозначается

Геометрический смысл: ДИ от неотрицательной в области D функции равен двойному интегралу:

Теорема о существовании ДИ: Если функция f(x,y) непрерывна в замкнутой ограниченной области D, то ДИ по области D существует.

10. Свойства двойного интеграла

Поскольку конструкция двойного интеграла аналогична конструкции определенного интеграла, то они обладают аналогичными свойствами, поэтому докажем только одно.

1. Двойной интеграл от алгебраической суммы функции равна алгебраической сумме двойных интегралов данных функций.

Док-во.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла

3. Если область интегрирования Dразбита на две области не имеющих внутренних точек D₁ и D₂, то двойной интеграл по области D равна

4. Если

5. Для непрерывной замкнутой области Dфункцииf(x,y)

где m, M соответственно наименьшее и наибольшее значение функции в области D.S-площадь в области D.

11.Вычисление двойного интеграла

Различают обл. интегрир. след. видов:

1.Обл. D ограничена слева и справа прямыми x=a,x=b; снизу кривой y=f₁(x), сверху кривой y=f₂(x)

Кажд. из котор. пересек. вертикальной только в одной точке

y

a b

2 .Обл. D огранич. снизу и сверху прямыми y=c,y=d, где c<d, схема кривой x=Ѱ₂(y), кажд. из котор. пересек. горизонт прямой только в одной точке

y

d

c

x

Для обл. 1го вида двойной интеграл вычисляется по формуле:

1ая обл.:

2ая обл.:

В первом случае обл. интегрир. путём разбиен. на части свод. к рассм.:

I₁=1ая обл.

I₂=2ая обл.

В двухгранном интеграле I₁в начале функц. f(x;y) интегрир. по y, причём x рассм. как постоянная, а затем получ. результ. интегрир. по x.

В двухгранном интегрир. выполн. в обратн. порядке: сначала по х, где у рассм. как постоян., затем получ. результ. интегрир. по у.

Как правило пределы при первом интегрир. явл. переменным зав. от той перемен., котор. при этом рассм. как постоян.. Пределы второй перемен. всегда постоян.

Во втором случае, если левая или правая лин. границы будет сост. из неск. участков с различн. уравн. обл. D следует разбить прямыми || оси ОХ на части, где левая и правая линии границы опред. кажд. одним уравнением.

Пределы внутр. и внеш. интеграла будут постоянными только в том случ. если обл. интегрир. представ. прямоуг. Со сторонами || осям координат.