2. Сложные проценты
Основное отличие сложных процентов от простых заключается в том, что база для начисления процентов меняется от одного расчетного периода к другому. Сумма начисленных в каждом периоде процентов добавляется к капиталу предыдущего периода, а начисление процентов в последующем периоде производится на эту, уже наращенную величину первоначального капитала. Механизм наращения первоначального капитала по схеме сложных процентов называется капитализацией.
При эффективной ставке сложного процента i, начисления на первоначальную сумму при которой происходит раз в год, наращенная сумма определяется по формуле (2.1). При номинальной ставке сложного процента j, при начислении процентов m раз в году, капитализация осуществляется по формуле (2.2):
|
|
(2.1) |
|
|
(2.2) |
При антисипативном способе начислении сложных процентов наращенная сумма имеет вид (2.3-2.4):
|
|
(2.3) |
|
|
(2.4) |
,
,где d – эффективная учетная ставка сложного процента, %;
f – номинальная учетная ставка сложного процента, %.
При
непрерывном наращивании применяется
особый вид процентной ставки – сила
роста
,
которая характеризует относительный
прирост наращенной суммы в бесконечно
малом промежутке времени. Если сила
роста постоянная на некотором временном
промежутке n,
то наращенная сумма определяется по
формуле (2.5). Если сила роста изменяется
по некоторому закону
,
в расчетах используется формула (2.6).
|
|
(2.5) |
|
|
(2.6) |
,
.
Процентные
ставки, обеспечивающие равноценность
финансовых последствий операций,
называются эквивалентными. Для вывода
форм эквивалентности приравнивают
соответствующие множители наращения.
Например, чтобы определить простую
учетную ставку, эквивалентную простой,
приравняем
и
,
получим
|
|
(2.7) |
,
.Задачи для самостоятельного решения:
В какую сумму обратится долг равный 10 000 руб. через 5 лет при капитализации по сложной ставке процентов 5,5% годовых.
Процентная ставка по ссуде определена на уровне 8,5% годовых плюс маржа 0,5% первые 2 года, 0,75% следующие 3 года. Найти множитель наращения за 5 лет.
Определить число лет, необходимых для увеличения капитала в 5 раз, применяя сложные и простые проценты по ставке 5% годовых.
Кредит в размере 30 000 руб. выдан на 3 года и 160 дней. Процентная ставка – 6,5% годовых. Найти наращенную сумму двумя способами.
Ссуда 10 000 руб., срок 5 лет, процент начисляется в конце каждого квартала. Номинальная годовая ставка 5% годовых. Найти FV.
Банк начисляет проценты на вклад, исходя из номинальной ставки 12% годовых. Найти эффективную ставку при ежедневной капитализации и при ежемесячной.
Необходимо определить современную величину 50 000 руб., которые будут выплачены через 5 лет при ставке сложных процентов 5% в год.
Предусматривается непрерывное начисление процентов на некоторую сумму ссуды, причем сила роста меняется дискретно первые 2 года проценты по ставке 8% годовых, следующие 3 года по 9%, далее в течении 5 лет по 10%. Найти множитель наращения.
Сила роста меняется во времени по линейному закону, причем начальное значение силы роста 8% годовых, ежегодный абсолютный прирост 2%. Найти множитель наращения за 5 лет.
За сколько лет сумма 75 000 руб. достигнет 110 000 при условии, что на нее начисляются проценты по ставке 7,5% (а) раз в году; (б) поквартально.
В условиях выпуска сертификата Сбербанка СССР за 1991 год номиналом 1 000 руб. предусмотрены выкупные суммы, зависящие от срока хранения: при 5-летнем сроке выплачивается 1 415 руб., при 10-летнем 2 595 руб. Каковы значения годовых сложных процентных ставок?
Необходимо определить значение учетной ставки эквивалентной простой ставке процентов 10%.
Какой годовой ставкой сложных процентов можно заменить в контракте простую ставку 18%, не изменяя финансовых отношений сторон, срок операции 580 дней.