5. Аннуитеты

Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы между платежами одинаковы, называют аннуитетом или финансовой рентой. Аннуитет характеризуется следующими параметрами: 1) величиной каждого отдельного платежа; 2) интервалом между платежами; 3) сроком от начала аннуитета до его конца (бывают вечные аннуитеты); 4) процентной ставкой.

Обобщающими показателями аннуитетов (пренумерандо – аннуитет с платежами в начале периодов, постумерандо – в конце) являются современная стоимость всего аннуитета, определяемая как сумма современных стоимостей членов потока платежей , и будущая стоимость всего аннуитета – наращенная сумма – сумма всех членов потока с начисленными на них процентами на конец срока . Рассмотрим аннуитеты постнумерандо и пренумерандо, в которых платежи производятся в конце и начале года (таблица 5.1), где R – величина годового платежа в аннуитете; – процентная ставка сложных процентов, используемая для расчета наращения или дисконтирования платежей.

Таблица 5.1 – Показатели аннуитетов с годовым начислением процентов

Аннуитет	Постнумерандо	Пренумерандо
Наращенная стоимость
Коэффициент наращения
Современная стоимость
Коэффициентом приведения

Зная будущую стоимость аннуитета, процентную ставку, по формуле (5.1) можно найти срок аннуитета:

.

(5.1)

В случае годовых рент постнумерандо и пренумерандо, проценты по которым начисляются m раз в году, наращенные суммы аннуитетов соответственно равны:

,

(5.2-5.3)

Современная стоимость данных аннуитетов составит величины:

.

(5.4-5.5)

Рента называется p-срочной, если рентные платежи вносятся несколько (p раз) в год. Наращенная сумма p-срочной ренты постнумерандо и пренумерандо при начислении процентов один раз в год вычисляется соответственно по формулам (5.6-5.7), расчет современной стоимости производится по формулам (5.8-5.9):

	.	(5.6-5.7)
	.	(5.8-5.9)

Наращенная сумма аннуитета, когда рентные платежи вносятся p раз в год с начислением процентов m раз в год при условии p ≠ m, находится по формуле (5.10-5.11):

.

(5.10-5.11)

Расчет современной величины p-срочной ренты с начислением процентов m раз в год при условии p ≠ m производится по формуле (5.12-5.13):

.

(5.12-5.13)

Ряд платежей с непрерывным начислением процентов и внесением рентных платежей один раз в год образует аннуитет со следующей наращенной суммой:

.

(5.14-5.15)

Современная стоимость аннуитета при непрерывном начислении процентов вычисляется по формулам (5.16-5.17):

.

(5.16-5.17)

Если рента не ограничена во времени и имеет неограниченное число членов, то она является вечной рентой. Примером вечной ренты является выпуск облигационных займов без ограничения срока погашения. В западной практике к бессрочным аннуитетам относятся аннуитеты, рассчитанные на 50 и более лет. Тогда, если А – это долг, который нужно погасить за бесконечное число лет при существующей процентной ставке i, то величина годового платежа равна . Для общего случая ренты, когда число рентных платежей p>1, современная величина будет равна , если p = m, то .

Наращенная и современная суммы аннуитета, в котором все платежи увеличиваются на определенную положительную величину , имеют вид:

.

(5.18-5.19)

Если же платежи постоянно возрастают в раз, то формулы (5.18-5.19) примут вид:

.

(5.20-5.21)

Задачи для самостоятельного решения:

1. В фонд ежегодно в конце года поступают средства по 10 000 руб. в течение семи лет, на которые начисляются проценты по ставке 15% годовых. Определить коэффициент наращения ренты и величину фонда на конец срока.

2. В фонд ежегодно в конце года поступают средства по 10 000 руб. в течение семи лет, на которые начисляются проценты по ставке 15% годовых. Определить коэффициент приведения ренты и современную стоимость фонда.

3. В фонд ежегодно в конце года поступают средства по 10 000 руб. в течение трех лет, на которые начисляются проценты по номинальной ставке 15% годовых, причем проценты начисляются поквартально. Определить коэффициент наращения ренты и величину фонда на конец срока.

4. В течение 30 лет создается пенсионный фонд. На поступившие средства начисляются сложные проценты по ставке 8,5% годовых. Сумма годовых взносов составляет 200$. Определите величину фонда для следующих ситуаций: а) взносы и начисление процентов в конце года; б) взносы в конце каждого полугодия, начисление процентов в конце года; в) взносы и начисление процентов в конце каждого квартала; г) взносы в конце каждого полугодия, непрерывное начисление процентов по годовой ставке 8,5% .

5. В фонд ежегодно поступают средства по 5 000 руб. в течение семи лет, на которые начисляются проценты по силе роста 15% годовых, причем выплаты производятся поквартально (раз в году), а проценты начисляются непрерывно. Определить коэффициент приведения ренты и ее современную стоимость.

6. Определить цену р-срочной вечной ренты, выплаты по которой в конце каждого месяца составляют 2 тыс. руб. при процентной ставке 12% годовых и начислении процентов один раз в году.

7. Определить цену годовой вечной ренты, выплаты по которой в конце каждого года составляют 24 тыс. руб. при процентной ставке 12% годовых.

8. Имеется следующий график платежей во времени:

1 января 2010 г. – 20 тыс. руб.;

1 июля 2010 г. – 30 тыс. руб.;

1 января 2011 г. – 10 тыс. руб.;

1 января 2012 г. – 40 тыс. руб.;

Определить сумму задолженности на 1 января 2012 г. и ее современную стоимость на момент выплаты первой суммы при ставке наращения 15% годовых.

9. Найти современную величину следующего потока платежей: в 1-ый год – поступило 500 тыс. руб., во 2-ой год – поступило 200 тыс. руб., в 3-ий год – выплатили 400 тыс. руб., далее в течение 7 лет поступало по 500 тыс. руб.; ставка процента 6% годовых.

10. Для погашения кредита, выданного под сложную процентную ставку 14% годовых, в течение 5 лет должны вноситься ежегодные платежи в размере 5 000$. Изменившиеся условия дают возможность с самого начала вносить по 7 500$. Определить новый срок, за который долг будет полностью выплачен.

11. Два аннуитета с параметрами: 1-ый – величина платежа 2 000$, процентная ставка 5% годовых, срок 12 лет; 2-ой – величина платежа 3500$ требуется заменить одним со сроком 10 лет и процентной ставкой 6% годовых. Какова его величина?

12. Наращенная сумма всего аннуитета составляет 500 000 руб. Найти величину первого платежа, если последующие платежи увеличивались с каждым разом на 500 руб. в течении 4 лет, а ставка процента равна 15% годовых.

13. Найти современную величину всего аннуитета с первоначальным платежом 1 000$, если в течении 5 лет с каждым годом платеж увеличивался в 3 раза. Процентная ставка – 12% годовых.