7. Риск и доходность активов. Элементы теории портфеля

Пусть R – случайна величина, отражающая доходность актива, тогда математическое ожидание r = ER – ожидаемая доходность. Дисперсия доходности DR – колеблемость ожидаемой доходности, а среднее квадратическое отклонение доходности есть степень рискованности вложений.

Рассмотрим общую задачу распределения капитала, который участник рынка хочет потратить на покупку различных ценных бумаг. Доходности активов, имеющихся в распоряжении инвестора, обозначим . Поскольку доходности рассматриваются как случайные величины, принимающие определенные значения с некоторыми вероятностями, то ожидаемые доходности, как математическое ожидание доходностей, будут , где . Стандартное отклонение является мерой риска i-го актива: , где . Пусть , тогда . Коэффициент корреляции, отвечающий за степень линейной зависимости между двумя активами: .

С инвестиционным портфелем p будем ассоциировать вектор , где – доля общего вложения, приходящаяся на i-ый вид ценной бумаги, причем .

Инвестиционные решения принимаются на основе ожидаемой доходности портфеля , так как , и риска портфеля , где – ковариация доходности активов i и j.

В случае, если портфель состоит из двух активов, один из которых не несет риска (r₀ – эффективность безрискового вложения, R_r – эффективность рискового вложения): ER=m_r, , r₀<m_r, x₀ – доля безрискового вложения, x_r – доля рискового, , , .

Задачи для самостоятельного решения:

1. Найти доходность и риск портфеля, если , и .

2. По следующим данным вычислить корреляционную матрицу и риск портфеля: .

3. Дана ковариационная матрица для трех ценных бумаг А, В, С. Вычислить риск портфеля, если и распределение бумаг в портфеле следующее: А – 50%, В – 30%, С – 20%.

4. Дана корреляционная матрица и известно, что , , . Найти риск портфелей: 1) p₁: А – 40%, В – 20%, С – 40%; 2) p₂: А – 20%, В – 80%.

5. Из условия предыдущей задачи найти структуру безрискового портфеля, составленного из двух ценных бумаг А и В.

6. Пусть доходности ценных бумаг, представленных в таблице, некоррелируемы. Найти характеристики портфелей их двух, трех, четырех и т.д. ценных бумаг.

   № ценной бумаги	1	2	3	4	5	6
   R	11	10	9	8	7	6
   σ	44	33	11	0,8	0,7	0,7

7. Некто может беспроцентно ссужать или занимать деньги ( – без ограничения на знак), а кроме того, он имеет возможность вложить под рисковую ставку R с характеристиками (2; 4). Очевидно, что брать деньги в долг под рисковую ставку R (short-sale), чтобы беспроцентно держать их у себя, бессмысленно, т.е. . Отношение индивида к риску задано уровневой функцией полезности . Найти оптимальный портфель, показать графическое решение задачи, сделать вывод.

8. Найти оптимальный портфель на траектории эффективных комбинаций из двух рисковых ценных бумаг с характеристиками (2;1) и (3;4), при условии, что эффективность добавляемого безрискового актива .

9. Оценить по исходным данным коэффициенты α и β.

   t
   1	5	-0,66	-1,75	4,5	4,34	3,25
   2	5	-3,59	-4,47	2	1,41	0,53
   3	3,5	-2,73	26,83	10	0,77	30,33
   4	3,5	-1,33	-1,73	5	2,17	1,77
   5	4,5	6,8	2,48	8	11,3	6,98
   6	3	0,89	0,28	7	3,89	3,28
   7	2,5	14,06	18,67	15	16,56	21,17
   8	3	-0,56	-1,17	7	2,44	1,83
   9	3	0,05	-0,46	5	3,05	2,54
   10	3,5	0,58	-0,2	7	4,08	3,3

10. Определить структуру портфеля с минимальным риском, если дана ковариационная матрица .

11. Доходность рискованного актива равна 30%, актива без риска 15%. Инвестор хотел бы сформировать кредитный портфель с доходностью 18%. Определите в каких пропорциях ему следует приобрести рискованный актив и актив без риска.

12. Доходность рискованного актива равна 30%. Инвестор может занять средства под 15% годовых. Определите, в какой пропорции от стоимости портфеля инвестору следует занять средства, чтобы сформировать заемный портфель с ожидаемой доходностью 36%.

13. Инвестор может ссужать деньги под 12% и вкладывать под рисковую ставку 15%, на уровне риска 2%. Отношение индивида к риску задано уровневой функцией полезности . Определить структуру оптимального портфеля, максимальную полезность.

14. Портфель состоит из двух акций А и В. Удельный вес акции А равен 30%, ожидаемая доходность – 30%, стандартное отклонение доходности 25%. Удельный вес акции В равен 70%, ожидаемая доходность – 20%, стандартное отклонение доходности – 15%. Коэффициент корреляции доходности акций равен 40%. Определите ожидаемую доходность и риск портфеля.

15. Портфель состоит из двух акций А и В с корреляцией доходности минус один. Стандартное отклонение доходности А равно 20%, акции В – 15%. Определите удельные веса акций в портфеле, чтобы его риск был равен нулю.

16. Доходность портфеля А – 20%, стандартное отклонение – 15%, портфеля В – 20% и 17% соответственно, портфеля С – 25% и 15%, портфеля D – 30% и 20%. Определите, какие портфели являются доминирующими по отношению друг к другу.

17. Ставка без риска равна 10%, ожидаемая доходность рынка – 20%, бета портфеля акций – 0,8. Определите ожидаемую доходность портфеля.