5. Полярная система координат. Связь между полярной и декартовой системами координат.

Для того чтобы задать полярную систему координат на плоскости, надо зафиксировать:

1. Точку – начало координат.

2. Луч, выходящий из этой точки – полярная ось.

3. Единичный отрезок.

4. Положительное направление отсчета угла между лучом и отрезком, соединяющим начало координат с какой-либо точкой плоскости.

Положение точки на плоскости задаётся двумя числами. Первое – расстояние от точки до начала координат, а второе – угол между зафиксированным лучом и отрезком, соединяющим точку и начало координат.

Обычно направление отсчета угла выбирают против часовой стрелки. Стандартное обозначение координат точки в полярной системе – (ρ,φ). Очевидно, ρ 0.

Существуют формулы перехода между заданными стандартным образом декартовой и полярной системами координат. Если они друг другу соответствуют (т.е. должны совпадать начала координат в обеих системах, луч полярной системы координат должен совпадать с “положительной” частью первой оси декартовой системы, должны быть одинаковыми единичные отрезки), то

x = ρ∙cosφ, y = ρ∙sinφ.

В других случаях формулы зависят от постановки задачи, но получить их легко из геометрических соображений.

С помощью этих формул можно осуществлять переход между двумя системами координат, преобразовывать координаты точек, уравнения кривых и т.д.

В полярной системе координат очень просто выглядят уравнения прямых, проходящих через начало координат и окружностей с центром в этой точке. Кроме того, уравнения многих стандартных, часто используемых, кривых принято (с точки зрения простоты) записывать в полярных координатах.

6. Вектор. Проекции вектора на ось. Линейные операции над векторами.

Отрезок на прямой определяется двумя равноправными точками – его концами. Различают также направленный отрезок, т.е. отрезок, относительно концов которого известно какой из них начало, а какой – конец.

Направленный отрезок (или упорядоченная пара точек) называется вектором.

Вектор обычно обозначается символом , где А – начало, а В – конец направленного отрезка, либо одной буквой (в некоторых учебниках буква выделяется полужирным шрифтом; при этом стрелка опускается На чертеже вектор изображается стрелкой. Начало вектора называют точкой его приложения.

Проекцией вектора   на ось   называется длина отрезка  , взятая со знаком "+", если направление   совпадает с направлением вектора  , и со знаком "-", если направление  противоположно направлению единичного вектора оси   (рис. 1).

Суммой + двух векторов и называется вектор, имеющий начало в начале вектора , а конец – в конце вектора , при условии, что вектор приложен к концу вектора .

В соответствии с определением слагаемые и и их сумма + образуют треугольник. Поэтому данное правило сложения двух векторов называют «правилом треугольника».

Операция сложения векторов обладает свойствами:

1. + = + (коммутативность);

2. ( + ) + = + ( + ) (ассоциативность);

3. + = для любого вектора (особая роль нулевого вектора);

4. для каждого вектора существует противоположный ему вектор такой, что + = (для получения достаточно поменять местами начало и конец вектора ). Вектор противоположный вектору обозначают (- ).

Опр. 2. Разностью - векторов и называется сумма вектора и вектора противоположного вектору , т.е. - = +(- ).

Разность - получается из вектора сдвигом его начала в конец вектора , при условии, что векторы и имеют общее начало. Очевидно, что - = +(- )= для любого вектора .

Замечание. Существует еще одно правило сложения векторов, называемое «правилом параллелограмма»: векторы и прикладываются к общему началу О, и на них строится параллелограмм. Суммой + будет вектор , расположенный на диагонали параллелограмма. Разностью - здесь будет вектор , расположенный на второй диагонали.

Векторная алгебра имеет дело с двумя типами величин: векторами и числами. Числа обычно называют скалярными величинами или скалярами.

Опр. 3. Произведением вектора на вещественное число λ (скаляр) называется вектор такой, что

1) ;

2) вектор коллинеарен вектору ;

3) векторы и имеют одинаковое (противоположное) направление, если λ > 0 (λ < 0).

Замечание. В случае, когда λ = 0 или = произведение  является нулевым вектором.

Операция умножения вектора на число обладает следующими свойствами:

1. (ассоциативное свойство сомножителей);

Действительно, заметим, что векторы, стоящие обеих частях равенства, имеют одну и ту же длину . Кроме того, они коллинеарны и одинаково направлены, так как их направление совпадает с направлением , если λ и μ одного знака, и противоположно направлению , если λ и μ имеют разные знаки. Если же λ или μ равны нулю, то обе части равенства равны нулю. Свойство доказано.

2. (свойства дистрибутивности).

Построим треугольник OAB где и . Построим далее треугольник SPQ, где и . Так как стороны SP, PQ треугольника SPQ параллельны и пропорциональны сторонам OA, AB треугольника OAB, то эти треугольники подобны. Поэтому сторона SQ также параллельна стороне OB и отношение их длин также равно |λ|. Ясно, далее, что и одинаково направлены, если λ > 0. Отсюда следует, что . Но и , а отсюда вытекает первое свойство дистрибутивности.

Очевидно, что векторы стоящие в обеих частях второго свойства дистрибутивности коллинеарны. Допустим сначала, что знаки λ и μ одинаковы. Тогда векторы и направлены одинаково и длина их суммы равна сумме их длин, т. е. . Но и следовательно, в этом случае векторы и равны по длине. Направление их совпадает с направлением вектора , если общий знак λ и μ положителен, и противоположно ему, если отрицателен. Допустим теперь, что знаки λ и μ различны, и для определенности будем считать |λ| > |μ|. В этом случае длина суммы равна разности длин, точнее . Но . Следовательно, и в этом случае длина вектора равна длине вектора . Очевидно, что оба эти вектора направлены так же, как . Если же |λ| = |μ| и знаки λ и μ противоположны, то обе части равенства равны нулю. То же обстоятельство имеет место, если равен нулю вектор или оба скаляра одновременно.

Теорема. Если вектор коллинеарен ненулевому вектору , то существует вещественное число λ такое, что = λ .