15. Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой.

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны условиям параллельности и перпендикулярности их направляющих векторов   и  :

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны, т.е. l1 параллельна l2 тогда и только тогда, когда   параллелен  .

Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений соответствующих коэффициентов равна нулю:  .

16. Общее уравнение плоскости. Неполные уравнения плоскости.

Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:

 Ax + By + Cz + D = 0

где А, В, С – координаты вектора -вектор нормали к плоскости.

            Возможны следующие частные случаи:

А = 0 – плоскость параллельна оси Ох

В = 0 – плоскость параллельна оси Оу

С = 0 – плоскость параллельна оси Оz

D = 0 – плоскость проходит через начало координат

А = В = 0 – плоскость параллельна плоскости хОу

А = С = 0 – плоскость параллельна плоскости хОz

В = С = 0 – плоскость параллельна плоскости yOz

А = D = 0 – плоскость проходит через ось Ох

В = D = 0 – плоскость проходит через ось Оу

С = D = 0 – плоскость проходит через ось Oz

А = В = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью хОу

А = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью xOz

В = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью yOz

17. Угол между двумя плоскостями.

 Две плоскости    A1x+B1y+C1z+D=0  и  A2x+B2 y+C2z+D=0 

  образуют четыре двугранных угла, равных попарно. Один из них равен углу между нормальными векторами N1{A1;B1;C1} и N2{A2;B2;C2}

  Угол между двумя плоскостями находится:

  Выбирая верхний знак получаем cos(N1,^N2) выбирая нижний – получаем cos[180⁰-(N1,^N2)]. 

18. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Условие параллельности плоскостей А1х+В1у+С1z+D1=0 и А2х+В2у+С2z+D2=0 означает, как и для прямых в двумерном случае, коллинеарность их векторов-нормалей:

Действительно, если плоскости параллельны, то параллельны и их вектора-нормали, только для векторов это называется коллинеарностью. Условием коллинеарности как раз и является пропорциональность координат векторов.

Если плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и их нормальные векторы. Поэтому условие перпендикулярности есть А1А2+В1В2+С1С2=0.

19. Расстояние от точки до плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

А1(х1,у1,z1), А2(х2,у2,z2), А3(х3,у3,z3):

Что представляет собой это уравнение? Имеются три точки А1, А2, А3. Рассмотрим текущую точку плоскости. Ее координаты – переменные А(х,у,z). Все эти четыре точки лежат в одной плоскости, следовательно, и связывающие их вектора лежат в той же самой плоскости. Если три вектора лежат в одной плоскости, они компланарны, а, если вектора компланарны, то объем призмы, построенной на них равен 0. Именно эту формулу смешанного произведения векторов и представляет собой левая часть нашего уравнения плоскости, проходящей через три известные точки А1, А2, А3.

Расстояние от точки до плоскости. Расстояние d от точки М(х1, у1, z1) до плоскости Ах+Вy+Сz+D=0 равно