33. Условий и безусловий экстремум

Безусловный экстремум

Рассмотрим задачу безусловного экстремума.

Найти экстремум функции z=х²+ху+у²-2х-3у.

Найдем частные производные.

Первая производная по х: z׳_х=2х+у-2

Первая производная по у: z׳_у=х+2у-3

Решим систему уравнений. 2х+у=2

х+2у=3

Получаем критическую точку (1/3; 4/3).

Найдем вторые частные производные.

Вторая производная по х: z׳׳_хх=2

Вторая производная по у: z׳׳_уу=2

Смешанные производные z׳׳_ху=z׳׳_ух=1

Составим определитель 2 1

1 2 = 4-1=3

Следовательно, экстремум есть. Так как z=2>0, то в точке (1/3; 4/3) точка минимума.

Условный экстремум

Задача на минимум.

Определить матрицы L и все ее главные миноры порядка больше чем m+1 должны иметь знак (-1)^m, где m – число ограничений задачи.

Задача на максимум.

Определить матрицы L должен иметь знак (-1)ⁿ, где n – число переменных в задаче. Главный минор порядка m+n-1 должен иметь противоположный знак. Последующие миноры должны иметь чередующие знаки.

Пример: Z = f(x)=xy, х²+у²=2.

Критические точки: М1=(1, 1), М2=(-1, -1), =(1, -1), =(-1, 1).

0 -2x -2y

L= -2x -2λ 1 Δ₃=8 λ(x²+y²)+8xy Δ₂=-4x²

-2y 1 -2 λ

Таким образом, максимум в точках М1, М2 (λ=0,5), минимум – в точках М3, М4 λ=-0,5.

34.Теория игр. Основные понятия.

Теория игр - это математическая теория, исследующая конфликтные ситуации, в которых принятие решений зависит от нескольких участников.

Математическая модель конфликтной ситуации называется игрой. Стороны, участвующие в конфликте - игроки, а исход конфликта - выигрыш (проигрыш). Выигрыш или проигрыш может быть задан количественно.

Игра называется антагонистической или игрой с нулевой суммой, если выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого, поэтому для полного «задания» игры достаточно указать величину выигрыша первого игрока.

Стратегией игрока называется совокупность принципов, определяющих выбор его действий при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации.

Для того чтобы найти решение игры, следует для каждого игрока выбрать стратегию, которая удовлетворяет условию оптимальности, т.е. один из игроков должен получать максимальный выигрыш, когда второй игрок придерживается своей стратегии. В тоже время второй игрок должен иметь минимальный проигрыш, если первый придерживается своей стратегии.

Такие стратегии называются оптимальными.

При выборе оптимальной стратегии следует полагать, что оба игрока ведут себя разумно с точки зрения своих интересов.

Матрица, элементы которой характеризуют прибыль первого игрока при всех возможных стратегиях (обозначается (α_ij)), называется платежной матрицей игры.

Величина α = max min a_ij называется нижней ценой игры.

i j

Величина β = min max a_ij называется верхней ценой игры.

j i

В некоторых задачах, приводящихся к игровым, имеется неопределенность, вызванная отсутствием информации об условиях, в которых осуществляется действие (погода, покупательский спрос и т.п.). Эти условия зависят не от сознательных действий другого игрока, а от объективной действительности. Такие игры называются играми с природой.

Человек в играх с природой старается действовать осмотрительно, второй игрок (природа и т.п.) действует случайно.

При решении задач, относящихся к теории игр, необходимо правильно классифицировать задачу, потому что методы, применяемые к антагонистическим играм кардинально отличаются от методов решения игр с природой.