Обчислення згладжування. Поняття інтерполяції та апроксимації функцій.

У випадку інтерполяції шукана крива f(x) обов’язково проходить через задані точки і для інтерполяції є справедливим наступне рівняння :

У випадку апроксимації шукана крива проводиться за деякою визначеною стратегією не досягаючи при цьому деяких опорних точок , щоб значення їх не збігалося з значенням функцій.

Необхідність для отримання інтерполюючих і апроксимуючих кривих виникає з метою отримання математичного опису отримання даних.

На основі цього ми можемо отримати значення даних в будь-який момент часу .

Наявність функціональної залежності дає можливість записати характеристику в пам'ять МК.

Над отриманими математичними залежностями можна здійснювати обробку (Диференціювання, інтегрування і т.д.)

Методи наближення згладжуючої кривої до виміряних величин.

1. Полягає в тому,що сума абсолютних різниць повинна бути мінімальною.

- апроксимації

2. Сума квадратів різниць повинна бути мінімальною.

- Метод наближення Гауса

- апроксимації.

3. Метод наближення Чебильова – полягає в тому , що максимальне значення абсолютних різниць повинні не перевищувати деякого значення .

- апроксимації.

Найбільшого розповсюдження і найбільшого використання на практиці здобув метод наближення Гауса

Якщо зглджуюча крива знайдена то можна обчислити різниці координат та їх статистичний розподіл. Згладжуюча крива тільки тоді достатньо точно відповідає характеристиці, коли стандартне відхилення розподілу одиниць приблизно збігається з точністю виміряної величини.

Апроксимуючий поліном

Апроксимуючі криві за винятком періодичних сигналів в переважній більшості є монотонно зростаючими при цьому екстремуми не очікуються , оскільки тоді характеристики будуть багатозначними. Крім того виключається із огляду коливання , які накладаються на характеристику, таким чином для згладжування здійснюється пошук поліномів не вище 3-тьго порядку, тобто прямі , квадратичні та кубічні параболи . В загальному випадку поліном 3-тьго порядку можна записати наступним чином:

; .

- деяка вагова функція, яка враховується на певних відрізках функціональної залежності.

; (А)

Ці екстремуми будуть представляти мінімуми, оскільки в даному випадку матриця інших похідних від коефіцієнтів є позитивно визначена.

(B)

Система рівнянь (В) з врахуванням того, що n міняється від 1 до N вираховується коефіцієнт , потім підставляємо це в рівняння : і вираховуємо поліном.

Приклад:

На основі рівнянь (В) з врахуванням того, що запишемо наступне рівняння:

Таким чином ми відшукали :

- відповідь.

Знаходження апроксимуючого поліному.

Приклад: Знайти апроксимуючий поліном

n	1	2	3	4
	1	2	3	4
	1	2	4	6

N=4