Дпф обмеженого в часі сигналу

- частота дискретизації.

Приведемо наступні закони:

1. 

2. 

3. 

4. 

В результаті цього отримуємо

ДПФ не передбачає перемноження на Та. Співвідношення між НПФ і ДПФ має наступний вигляд

F(jw)=Fd(jw)

Оскільки ДПФ має дисперсний спектр то і визначити спектральні лінії В дискретно моменти часу при цьому кінцеве ДПФ буде виглядати наступним чином:

ДПФ ;

Властивості дпа

1. f_n=- f_n , якщо вхідна функція є парна, то перетворення Фур’є є також функцією парною і дійсною F(jw)=-F(jw)

2. f_n=- f_-n , якщо вхідна функція є непарна, то перетворення Фур’є є функцією непарною і уявною F(jw)=-F(-jw)

3. Якщо Fd(jw)=-Fd(jw) є комплексно спряженими функціями.

Особливості дпф

1. ДПФ є періодичною функцією

2. Зв’язок між неперервними перетвореннями Фур’є НПФ і ДПФ передбачає перемноження на F(jw)= Fd(jw)

3. Спектральні лінії для ДПФ обчислюються лише в дискретні моменти .

З періодичностті ДПФ випливає, що спектри, які повторюються неповинні перекриватися, оскільки перекриття спектру приводить до втрати інформації, а значить неможливості відтворення оригінального сигналу з спектральних ліній.

Для запобігання накладання спектру, частота дискретизації повинна бути більша ніж максимальна частота в його сладовой в 2 рази.

Н а практиці ,

Дпф необмеженого в часі сигналу.

(1)

, якщо то (1) не сходиться (збігається). Такі труднощі можна обійти, якщо розглядати сигнал через деяке вікно, тобто через деякі множини функцій f(t) на функцію деякого вікна w(t), поза межами якого сигнал дорівнює нулеві. Множення в часовій області відповідає діоржниці спектру сигналів зі спектром вікна. Це відповідає розширенню спектру.

Спектр необмеженого в часі сигналу з накладанням часового вікна.

1. f (t)=1

2. W(t) – це функція вікна

3. nTa – вибірки беруться через проміжки часу nTa

4. n міняється від до

5. W(t)=1 коли nTa буде в межах

6. Функція W(t) для усіх інших значень

(2)

Використовуємо формулу обчислення суми геометричного ряду.

Отримаємо:

Даний вираз не що інше як:

(4)

Де х= ; Максимальне значення цієї функціональної залежності буде коли w=0

Таким чином спектр постійного сигналу неперервного в часі буде описуватись:

Спектр необмеженого в часі неперіодичного сигналу з накладанням часового вікна.

Виходячи з р-ня (4)

(5)

Якщо записати синусоїдальну ф-цію через різницю експоненціальних функцій:

- , то можна сказати, що перший вираз ми маємо за аналогією з виразом (5)

Кінцево для необмеденого в часі періодичного сигналу у вигляді синусоїдального сигналу можна записати наступним чином.

(6)

Таким чином ми отримали вираз для спектра необмеженого в часі синусоїдального сигналу з накладанням часового вікна.

Порівняння ДПФ з апроксимацією ряду Фур’є

при вимірюванні вибірками. періодичної функції у межах вікна і обчислено при цьому ДПФ виникає розширення спектра, якщо час спостереження є кратнім основному періоду То. При цьому То або повинні бути відомими, якщо вони відомі то немає необхідності обчислювати ДПФ, а можна апроксимувати дискретизовану функцію за допомогою ряду Фур’є і обчислити коефіцієнт за допомогою згладжування. Таке обчислення дає точні дані амплітуди спектру без появи розширення спектру. Виникає питання, що краще використовувати ДПФ чи алгоритм обчислення коефіцієнтів пов’язаний із згладжуваннями рядами Фур’є. Відповідь така: ДПФ виражає загальний випадок і містить в собі також обчислення згладжування.

;

; ;

NTa=To

дає нам зв‘язок між обчисленнями амплітудами С_к ряду Фур’є та ДПФ.