Цифрове Згладжування. Диференціювання та інтегрування.

Оскільки результат вимірювання, або перетворення розсіюється за рахунок шумів та випадкових похибок то є раціональним проводити згладжування перед подальшою її обробкою .

Лінійне Згладжування через 3 точки.

Найпростішим випадком є такий, коли з 3-х виміряних величин обчислюється згладжуюча величина

З N виміряних величин можна отримати N-2 згладжуючих величин.

Середнє значення буде лежати в центрі ваги такого трикутника.

Подвійне згладжування.

Згладжування полінома 3-го порядку через 5 точок.

Для того, щоб згладити в точці шукану величину необхідно через 5 точок провести поліном 3-го порядку в точці

де 1- поліном 3-го порядку.

Виходячи з отриманих виразів для апроксимації поліномом 3-го порядку запишемо наступне.

(2)

(3)

(4)

(5)

Для знаходження коефіцієнта а використовується рівняння 2 і 4

В результаті цього з отриманих двох рівнянь визначається :

В рівняннях 2 і 4 зникає поліном 3-го порядку, це означає , що для усереднення достатньо використовувати квадратичну параболу. Значить поліном 3-го порядку згладжує не краще, ніж поліном 2-го.

За допомогою рівняння (6) неможливо згладити 2 точки на початку і в кінці області вимірів. Якщо від цих вимірів неможна відмовитись, то потрібно обчислити усі коефіцієнти полінома.

Диференціювання виміряних величин.

В багатьох випадках необхідно знаходити похил вимірюваних пар величин, наприклад з вимірюваної швидкості необхідно знайти прискорення.

Для знаходження цього розглянемо 2 випадки :

1. Обчислення різницевого відношення.

Якщо виміряні величини в залежності від параметра отримані через рівні проміжки часу ,то через розкладання в ряд Тейлора отримаємо :

2. Обчислення похилу поліномом 3-го порядку побудованого за 5-ма точками

Для обчислення коефіцієнтів використовується рівняння (3) і (5)

В результаті обчислення результат цих рівнянь

Якщо необхідно знайти інші 4 точки через які проходить поліном тоді можна обчислити похил за допомогою несиметричних згладжуючи виразів.

Не рекомендується згладжувати розсіяні виміряні величини поліномами вищих порядків, вони є причиною пульсації. Тому за деяких випадків похил полінома значно відрізняється від виміряного дійсного різницевого відношення.

Інтегрування отриманих даних.

1. 

2. S

Необхідно знайти площу , що обмежується даними значеннями.

1. Метод прямокутників

2. (Правило) Метод трапецій.

Крім наведених обчислень площі існує спосіб Каплера та Сампсона, який базується на тому, що через 3 вузлові точки проводиться інтерполяційний поліном 2-го порядку. По цій квадратній параболі проводиться інтегрування інтервалом шириною .

Спосіб 3/8. Даний спосіб базується на використанні правила 3/8 згідно даного способу. Через 4 вузлові точки проводиться поліном 3-го порядку:

Коефіцієнти , якого визначаються як і в попередньому випадку.

Чисельне інтегрування звичайних диференціальних рівнянь.

А) Однорідні диференціальні рівняння

Б) Неоднорідні диференціальні рівняння

Чисельне інтегрування диференціальних рівнянь методом Рунге-Кутта.

Дискретне перетворення Фур’є.(ДПФ)

1)Постановка задачі

2)Застосування ДПФ

1. В багатьох випадках для аналізу сигналів недостатньо використовувати часову область їх подання. З погляду на це часто використовується частотна область. Перехід до якої здійснюється за допомогою перетворення Фур’є. Найбільш вживаною формою ПФ є його дискретна форма, тобто ДПФ. З допомогою ДПФ представляється можливим виявити частоти, які містяться в сигналі. ДПФ – є найбільш ефективним для аналізу періодичних сигналів, для цього з таких сигналів робляться відповідні вибірки, які запам’ятовуються а потім, за певним алгоритмом здійснюється обчислення. В результаті обчислень отримується спектр сигналу. З отриманого спектру сигналу також можна відтворити з допомогою оберненого ДПФ (ОДПФ) оригінальний сигнал в часовій області.

2. Використання ДПФ

1. ДПФ служить для аналізу сигналів, звуку та зображення.

2. На основі ДПФ будуються усі пристрої для аналізу частот – електроаналізатори .

3. ДПФ широко використовується в геології для визначення корисних копалин.

4. Дефектоскопія – по спектру який отримується з досліджуваних деталей, можна судити про наявність в них дефектів.

5. Медицина – ультразвукова діагностика.