3.5. Коэффициент корреляции

Коэффициент корреляции является общепринятой в математической статистике мерой, характеризующей связи между двумя случайными величинами.

Выбор метода вычисления коэффициента корреляции зависит от вида шкалы, к которой относятся переменные. Используются следующие шкалы: интервальная, шкала отношений, ранговая и шкала наименований.

По интервальной шкале числа не только упорядочены и разделены определенными интервалами. Особенность ее состоит в том, что нулевая точка выбирается произвольно. Примерами интервальной шкалы могут быть календарное время (начало летоисчисления в разных календарях устанавливалось по случайным причинам), температура, потенциальная энергия поднятого груза, потенциал электрического поля и др. Измерив параметр в интервальной шкале, мы можем сказать, что его значение на определенное количество единиц больше или меньше значения другого параметра.

Шкала отношений отличается от шкалы интервалов только тем, что в ней строго определено положение нулевой точки. Благодаря этому шкала отношений не накладывает никаких ограничений на математический аппарат, используемый для обработки результатов наблюдений. При использовании шкалы отношений измерение какой-либо величины сводится к экспериментальному определению отношения этой величины к другой подобной, принятой за единицу. Измеряя длину объекта, мы узнаем, во сколько раз эта длина больше длины другого тела, принятого за единицу длины (метровой линейки в данном случае) и т.п. С помощью таких шкал могут быть измерены масса, длина, сила, стоимость (цена), т.е. всё, что имеет гипотетический абсолютный ноль. В отличие от шкалы интервалов эта шкала может отражать то, во сколько один показатель больше другого.

Ранговая шкала – отображение отношений порядка. Единственно возможные отношения между объектами измерения в данной шкале – это больше / меньше, лучше / хуже. Самой типичной переменной этой шкалы является место, занятое спортсменом на соревнованиях. Известно, что победители соревнований получают первое, второе и третье место и мы точно знаем, что спортсмен с первым местом имеет лучшие результаты, чем спортсмен со вторым местом. Кроме места, имеем возможность узнать и конкретные результаты спортсмена. Проведя измерение по ранговой шкале нельзя узнать, на сколько единиц отличаются объекты, тем более во сколько раз они отличаются.

Шкала наименований – простейшая из шкал измерения. Числа (равно как буквы, слова или любые символы) используются для различения объектов. Отображает те отношения, посредством которых объекты группируются в отдельные непересекающиеся классы. Номер (буква, название) класса не отражает его количественного содержания. Примером шкалы такого рода может служить классификация испытуемых на мужчин и женщин, нумерация игроков спортивных команд, номера телефонов, паспортов, штрих-коды товаров. Особым подвидом шкалы наименований является дихотомическая шкала, которая кодируется двумя взаимоисключающими значениями (например, 1/0). Пол человека является типичной дихотомической переменной.

По шкале наименований нельзя сказать, что один объект больше или меньше другого, на сколько единиц они различаются и во сколько раз. Возможна лишь операция классификации – отличается / не отличается.

 В зависимости от вида шкалы, по которой измеряются исследуемые величины, осуществляется выбор метода вычисления коэффициента корреляции (таблица 2).

Таблица 2. Выбор метода вычисления коэффициента корреляции

в зависимости от вида шкалы

Вид шкалы		Мера связи
Параметр Х	Параметр Y
интервальная или отношений	интервальная или отношений	коэффициент корреляции Пирсона
ранговая, интервальная или отношений	ранговая, интервальная или отношений	коэффициент корреляции Спирмена
ранговая	ранговая	коэффициент корреляции Кендалла
дихотомическая	дихотомическая	коэффициент четырехполевой корреляции
дихотомическая	ранговая	рангово-бисериальный коэффициент
дихотомическая	интервальная или отношений	бисериальный коэффициент
интервальная	ранговая	не разработан

Для переменных с интервальной и с номинальной шкалой используется коэффициент корреляции Пирсона (корреляция моментов произведений). Если, по меньшей мере, одна из двух переменных имеет порядковую шкалу либо не является нормально распределённой, то используется ранговая корреляция по Спирмену или τ (тау-грого-соая) Кендала. Если же одна из двух переменных является дихотомической, то можно использовать точечную двухрядную корреляцию. В том случае если обе переменные являются дихотомическими, используется четырёхполевая корреляция. Расчёт коэффициента корреляции между двумя недихотомическими переменными возможен только тогда, кода связь между ними линейна (однонаправлена).

Коэффициент корреляции обладает следующими основными свойствами:

1. Коэффициент корреляции – безразмерная величина.

2. Коэффициенты корреляции способны характеризовать только линейные связи, т.е. такие, которые выражаются уравнением линейной функции. При наличии нелинейной зависимости между варьирующими признаками следует использовать другие показатели связи.

3. Значения коэффициентов корреляции – это отвлеченные числа, лежащее в пределах от -1 до +1,т.е. принадлежащие промежутку [-1;1] .

4. При независимом варьировании признаков, когда связь между ними отсутствует, коэффициент корреляции равен 0.

5. При положительной, или прямой, связи, когда с увеличением значений одного признака возрастают значения другого, коэффициент корреляции положителен и находится в пределах от 0 до +1.

6. При отрицательной, или обратной, связи, когда с увеличением значений одного признака соответственно уменьшаются значения другого, коэффициент корреляции отрицателен и находится в пределах от -1 до 0.

7. Чем сильнее связь между признаками, тем ближе величина коэффициента корреляции к 1. Если коэффициент корреляции равен , то корреляционная связь переходит в функциональную, т.е. каждому значению признака Х будет соответствовать одно или несколько строго определенных значений признака Y.

8. Только по величине коэффициентов корреляции нельзя судить о достоверности корреляционной связи между признаками. Этот параметр зависит от числа степеней свободы k = n –2, где: n – число коррелируемых пар признаков Х и Y. Чем больше n, тем выше достоверность связи при одном и том же значении коэффициента корреляции.

Коэффициент корреляции Пирсона

Для вычисления коэффициента корреляции Пирсона достаточно только принять предположение о линейности связи между случайными величинами, и вычисленный коэффициент корреляции будет мерой этой линейной связи.

Коэффициент корреляции Пирсона (r или r_XY) относится к параметрическим коэффициентам и вычисляется по формуле:

, где выборочные средние значения исследуемых параметров модели.

Вычислив значение r (в случае r ), необходимо определить достоверность найденного коэффициента корреляции. Обычно выдвигается основная (нулевая) гипотеза об отсутствии линейной корреляционной связи между переменными . Для проверки гипотезы выполняют следующие шаги:

1) Вычисляют наблюдаемое значение критерия , имеющее распределение Стьюдента с k=n –2 степенями свободы.

2) При заданном уровне значимости по таблице значений t-критерия Стьюдента определяют .

3) Сравнивают и . Если , то основная гипотеза отвергается. Это означает, что выборочный коэффициент корреляции значительно отличается от 0 и выявленная линейная корреляционная зависимость не является следствием случайного попадания значений наблюдаемого признака в выборку.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена

Рассмотрим выборку, объекты которой обладают двумя качественными признаками (т.е. признаками, которые невозможно точно измерить, но возможно сравнить между собой, располагая их в порядке убывания или возрастания качеств). Мерой связи таких признаков служит коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

Объекты выборки сначала ранжируются в порядке в порядке ухудшения качества по признаку А при допущении, что все объекты имеют различное качество по обоим признакам. Объектам, расположенным на определенных местах, приписывают равные их порядковому номеру ранги. Т.е. объект, расположенный на первом месте, имеет ранг, равный 1 ( ), объект, расположенный на втором месте, имеет ранг, равный 2 ( ), таким образом, .

Далее объекты ранжируют в порядке убывания качеств по признаку В и каждому их них приписывают ранг , где индекс, равный порядковому номеру объекта по признаку А. Например, запись означает, что по признаку А объект стоит на третьем месте, а по признаку В – на четвертом.

В итоге получают две последовательности рангов:

по признаку А:

по признаку В: .

Введем обозначения: , , .

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена вычисляют по формуле:

Он является непараметрическим аналогом коэффициента корреляции Пирсона, но при его расчете учитываются не связанные с распределением показатели сравниваемых переменных (среднее арифметическое и дисперсия), а ранги.

Значимость ранговой корреляции для выборок объема позволяет установить правило: для проверки гипотезы о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции на уровне значимости , при альтернативной гипотезе , необходимо вычислить критическую точку: , где критическая точка двусторонней критической области, которую определяют по таблице критических точек распределения Стьюдента по заданному уровню значимости и числу степеней свободы . Если , то нет оснований отвергнуть ; если , то отвергают, т.е. между качественными признаками существует значимая ранговая корреляционная связь.

Контрольные вопросы

1. Что представляют собой величины, входящие в стохастическую модель?

2. Какие трудности возникают при изучении стохастических моделей?

3. Какие законы распределения случайной величины Вы знаете?

4. Как выглядит плотность распределения для нормального закона?

5. От чего зависит погрешность стохастического моделирования?

6. Сформулируйте задачу проверки адекватности модели.

7. Что означает понятие адекватности математической модели?

8. В чем заключаются ошибки первого и второго рода? Приведите примеры.

9. Какие критерии проверки адекватности математической модели Вы знаете?

Задания

1. Представлены результаты наблюдений случайной величины Х. Разделив интервал значений Х на десять равных частей, построить группировку, гистограмму, эмпирическую функцию распределения, найти оценки математического ожидания и дисперсии исследуемой случайной величины. На основе этих построений выдвинуть гипотезу о законе распределения Х и на графике гистограммы изобразить выравнивающую кривую. На уровне значимости по критерию Колмогорова установить согласие или несогласие выдвинутой гипотезы с результатами наблюдений.

0,5; 2,9; 0,7; 11,7; 0,8; 3,3; 21,8; 9,6; 5,8; 0,8; 13,7; 14,8; 9,5; 10,3; 4,6; 4,7; 15,6; 0,3; 6,0; 0,3; 5,1; 19,2; 9,5; 8,5; 14,7; 4,9; 16,8; 23,8; 0,5; 0,4; 6,5; 1,3; 7,1; 6,5; 9,3; 20,7; 3,3; 6,4; 1,7; 5,5; 2,5; 2,4; 3,3; 8,9; 3,2; 6,9; 6,1; 3,8; 0,6; 8,6; 1,1; 8,6; 7,2; 5,2; 0,4; 2,5; 3,9; 23,1; 1,5; 3,5.

2. Имеется статистическая ранжированная выборка. Построить статистический интервальный ряд, найти точечные и интервальные оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения; с помощью критерия согласия проверить гипотезу о нормальном распределении с параметрами, совпадающими с точечными оценками .

-13,38; -13,26; -13,02; -12,29; -11,57; -10,28; -10,14; -9,72; -9,66; -9,35;

-9,07; -8,77; -8,67; -8,53; -8,52; -8,05; -7,83; -7,45; -7,39; -7,38;

-7,37; -7,34; -6,93; -6,87; -6,78; -6,64; -6,64; -6,52; -6,27; -6,06;

-6,01; -5,75; -5,75; -5,73; -5,73; -5,67; -5,35; -5,16; -5,10; -4,96;

-4,84; -4,82; -4,76; -4,64; -4,63; -4,55; -4,43; -4,30; -3,66; -3,56;

-3,35; -3,34; -3,20; -3,14; -3,08; -3,06; -2,78; -2,64; -2,61; -2,42;

3. По двум независимым выборкам, объем которых соответственно равен 10 и 18, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей Х и У, определены оценочные дисперсии = 1,23, = 0,41. При уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве дисперсий этих случайных величин.

4. Методом наименьших квадратов установить линейную зависимость между стажем работы (X, лет) и выработкой одного рабочего за смену (Y, ед.)

Стаж работы (лет)	1	3	4	5	6	7
Выработка одного рабочего за смену (ед.)	14	15	18	20	22	25

5. Данные опыта химической лаборатории представлены следующей таблицей значений переменных и :

	1	1,5	2	2,5	3
	2,2	3,1	2,4	2	1,3

Представить связь между переменными и в виде квадратичной функции , пользуясь для определения коэффициентов , и способом наименьших квадратов.