1.4. Графическое представление математических моделей

В математике формы связи между величинами могут быть представлены уравнениями вида независимая переменная (аргумент), y – зависимая переменная (функция). В теории математического моделирования независимую переменную называют фактором, зависимую – откликом. Причем в зависимости от области построения математической модели терминология несколько видоизменяется. Некоторые примеры определений фактора и отклика, в зависимости от области исследования, приведены в таблице 1.

Таблица 1. Некоторые определения понятий «фактор» и «отклик»

понятие	определение понятия
фактор	- элемент воздействия на систему (медико-биологическую), обладающий целостностью эффекта [8]; - признаки, обуславливающие изменение других, связанных с ними, признаков, при этом признаки, изменяющиеся под действием факторных признаков, называют результативными (термин «отклик» не применяется) [12]; - параметры, полностью или частично регулируемые или легко поддающиеся регистрации и прогнозу [1];
отклик	- значение измеряемого признака [12]; - выходные параметры, характеризующие поведение или эффективность функционирования исследуемой системы [1];

Представляя графически математическую модель, мы будем считать факторы и отклики переменными величинами, значения которых принадлежат множеству действительных чисел.

Графическим представлением математической модели является некоторая поверхность отклика, соответствующая расположению точек в k-мерном факторном пространстве Х. Наглядно можно представить себе только одномерную и двухмерную поверхности отклика. В первом случае это множество точек на действительной плоскости, а во втором – множество точек, образующих поверхность в пространстве (для изображения таких точек удобно применять линии уровня – способ изображения рельефа поверхности пространства, построенного в двумерном факторном пространстве Х (Рис. 8).

Рис. 8

Область, в которой определена поверхность отклика, называется областью определения Х^*. Эта область составляет, как правило, лишь часть полного факторного пространства Х (Х*  Х) и выделяется с помощью ограничений, наложенных на управляющие переменные x_i , записанных в виде равенств:

x_i = C_i , i = 1,…, m;

f_j(x) = C_j , j = 1,…, l

или неравенств:

x_{i min}  x_i  x_{i max} , i = 1,…, k;

f_j(x)  C_j , j = 1,…, n,

При этом функции f_j(x) могут зависеть как одновременно от всех переменных, так и от некоторой их части.

Ограничения типа неравенств характеризуют или физические ограничения на процессы в изучаемом объекте (например, ограничения температуры), или технические ограничения, связанные с условиями работы объекта (например, предельная скорость резания, ограничения по запасам сырья).

Возможности исследования моделей существенно зависят от свойств (рельефа) поверхности отклика, в частности, от количества имеющихся на ней «вершин» и ее контрастности. Количество вершин (впадин) определяет модальность поверхности отклика. Если в области определения на поверхности отклика имеется одна вершина (впадина), модель называется унимодальной.

Характер изменения функции при этом может быть различным (Рис. 9).

(а) (б) (в)

Рис. 9

Модель может иметь точки разрыва первого рода (Рис. 9 (а)), точки разрыва второго рода (Рис. 9(б)). На рисунке 9(в) показана непрерывно-дифференцируемая унимодальная модель.

Для всех трех случаев, представленных на рисунке 9, выполняется общее требование унимодальности:

если W(x*) – экстремум W, то из условия х₁ < x₂ < x* (x₁ > x₂ > x*) следует W(x₁) < W(x₂) < W(x*) , если экстремум – максимум, или W(x₁) > W(x₂) > W(x*) , если экстремум – минимум, то есть, по мере удаления от экстремальной точки значение функции W(x) непрерывно уменьшается (увеличивается).

Наряду с унимодальными рассматривают полимодальные модели (Рис.10).

Рис. 10

Другим важным свойством поверхности отклика является ее контрастность, показывающая чувствительность результирующей функции к изменению факторов. Контрастность характеризуется величинами производных. Продемонстрируем характеристики контрастности на примере двумерной поверхности отклика (Рис. 11).

Точка а расположена на «склоне», характеризующем равную контрастность по всем переменным х_i (i=1,2), точка b расположена в «овраге», в котором различная контрастность по различным переменным (имеем плохую обусловленность функции), точка с расположена на «плато», на котором низкая контрастность по всем переменным х_i говорит о близости экстремума.