3. Стохастические модели и их виды

Стохастические (вероятностные) модели описывают ситуации, в которых похожие причины приводят к различным следствиям, т.е присутствует элемент случайности. При построении стохастических моделей необходимо учитывать, какие из величин являются случайными, а какие – неслучайными, какой характер имеют законы распределения случайных величин.

Рис. 14

Рассмотрим классификацию стохастических моделей, предложенную Лисиенко В.Г., Трофимовой О.Г. и другими учеными (Рис.14)[7].

Стохастические модели разделены на две группы.

В первую группу вошли стохастические модели, для которых однозначно определены законы распределения случайных величин (теоретико-вероятностные), во вторую – модели для которых заранее нельзя указать законы распределения описываемых ими случайных величин (статистические).

По степени сложности стохастические модели авторы разделяют на три уровня. Простейшие теоретико-вероятностные модели – случайное событие или случайная величина, которые являются соответственно качественными и количественными характеристиками проведенного испытания относятся к первому уровню.

Для описания вероятностных свойств элементарных событий (например, события А) используется формула классической вероятности. Вероятность события : , где m – число элементарных исходов, благоприятствующих данному событию, n – число всех равновозможных, образующих полную группу элементарных исходов испытания (опыта). Если число исходов бесконечно, применяют формулу геометрической вероятности: , где – мера области, благоприятствующей появлению события, – мера всей области.

Для описания вероятностных свойств более сложных событий, составленных из элементарных, применяют теоремы сложения и умножения вероятностей: , , где А, В – элементарные события, вероятности этих событий, условная вероятность события В, вычисленная при условии того, что событие А произошло.

Случайные события и случайные величины связаны между собой пространством элементарных событий. Выше описаны одномерные случайные величины, n-мерные случайные величины обычно характеризуются набором числовых характеристик, т.к. описание их посредством функции распределения является очень громоздким. Обобщением модели n-мерной случайной величины является модель 3-го уровня – случайная функция X(t) , t – действительный параметр.

Каждому из уровней теоретико-вероятностных моделей соответствует определенная статистическая модель. Различают три основные модели математической статистики:

- модель выборки;

- модель регрессии;

- модель случайного процесса.

Модель выборки является простейшей статистической моделью, в которой предполагается, что исходный статистический материал является реализацией значений некоторой случайной величины. Реализация модели связана с построением эмпирических (построенных на основе экспериментальных данных) законов распределения, функции и плотности распределения вероятностей и содержит элемент случайности. В этом случае необходимо уточнение модели. Оно проводится «сглаживанием» статистического ряда (т.е. выбирается теоретическое распределение, наилучшим образом описывающее исходный материал).

При построении модели регрессии предполагают, что исходный статистический материал представляет собой реализации значений случайной величины, изменяющиеся в зависимости от значений некоторого параметра (временного, координатного, температурного и т.д.).

Модель случайного процесса является обобщением предыдущих двух моделей. Исходный ряд наблюдений зависит как от параметра (модель регрессии), так и от проводимых в результате испытания наблюдений.

При статистическом моделировании применяется метод статистических испытаний – метод Монте-Карло. Основная идея метода заключается в следующем. Пусть необходимо определить значение детерминированной величины у. Предположим, эту величину можно представить в виде детерминированной функции , где детерминированная переменная.

Заменим переменные на случайные функции с известным законом распределения. Тогда значение у заменяется на случайную величину Y. Применяют следующий алгоритм:

1. По каждой из величин производится случайное испытание, в результате которого определяется некоторое конкретное значение случайной величины .

2. На основании найденных величин определяется одно частное значение .

3. Операции 1, 2 повторяются n раз, в результате получены n значений случайной величины Y.

4. По найденным значениям случайной величины Y находится эмпирическая функция распределения, числовые характеристики.

Контрольные вопросы

1. Какую величину называют случайной. Приведите примеры случайных величин.

2. Назовите способы задания дискретных и непрерывных случайных величин.

2. Назовите числовые характеристики случайных величин.

3. Перечислите группы стохастических моделей по уровням их построения.

Задания

1. Вероятность наличия ошибки в бухгалтерском балансе равна 0,1 . Аудитору на заключение представлено 5 балансов. Составьте закон распределения вероят­ностей числа ошибок в проверяемых балансах.

2. Игральный кубик размечен следующим образом: на трёх гранях написана цифра 1, на двух - 2, на одной - 3. Кубик бросают не больше четырех раз до первого появления цифры 2. Написать закон распределения случайной величины Z, равной количеству произведённых бросков.

3. Определить, при каком значении параметра С заданная функция является функцией плотности распределения случайной величины. Найти функцию распределения и числовые характеристики .

4. Дискретная случайная величина Х может принимать только два значения: х₁ и х₂, причем х₁ < х₂. Известны вероятность р₁ = 0,9 возможного значения х₁, математическое ожидание М(Х)=3,1 и дисперсия D(X)=0,09. Найти закон распределения этой случайной величины.

5. По заданному закону распределения случайной величины найти числовые характеристики , если .

0,32	0,33	0,34	0,35
0,4	0,3	?	0,1