10. Совершенное множество и его строение. Канторово совершенное множество.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Множество P называется совершенным, когда оно содержит все свои предельные пункты, и каждый пункт этого множества является предельным.

Иначе говоря, множество P называется совершенным, когда оно является замкнутым и не помещает изолируемых пунктов.

ЛЕММА 1. Пусть G - непустое ограниченное открытое множество, а (a, b) - интервал, который помещается в G. Тогда среди составных интервалов множества G существует такой, который содержит в себе интервал (a, b).

ЛЕММА 2. Пусть F - непустое ограниченное замкнутое множество, S=[A, B] - наименьший отрезок, который содержит F. Тогда имеют место следующие утверждения.

1. Если пункт x₀ является общим концом двух дополнительных интервалов множества F, то x₀ является изолируемым пунктом множества F.

2. Если пункт x₀ является концом отрезка S и одновременно является концом одного из дополнительных интервалов множества F, то x₀ - изолируемый пункт множества F.

3. Все другие пункты множества F не являются изолируемыми пунктами этого множества.

ТЕОРЕМА. Любое непустое ограниченное совершенное множество P есть или отрезок,или получается из некоторого отрезка выбрасыванием конечной или счетной совокупности интервалов, которые попарно не пересекаются и не имеют общих пунктов ни один со вторым, ни с исходным отрезком.

Любое множество, которое получено этим способам, является совершенным.

Канторово совершенное множество.

Рассмотрим отрезок [0, 1]. Поделим его на 3 равные части пунктами . Исключим средний интервал . Каждый из оставшихся отрезков тоже поделим на 3 части пунктами и и исключим средние интервалы . Далее разделим на три равные части оставшиеся отрезки и исключим средние интервалы. Если этот процесс продолжать неограниченно, то в итоге из отрезка [0, 1]исключим некоторое открытое множество G₀, которое является объединением счетного множество интервалов: .

Множество, которое останется, обозначим через P₀. Множества G₀ и P₀ называются канторовыми множествами.

12. Определение и свойства измеримых функций

Пусть действительная числовая функция определена на множестве А, с - некоторое действительное число. Рассмотрим подмножество множества А. Кратко обозначать . Множество может быть пустым, а может совпадать со всем множеством А.

Из того, что множество А измеримо по Лебегу, следует что измеримы по Лебегу и его подмножества А(f<с).В связи с этим вводится понятие измеримой функции.

Определение 1.4 Числовая функция , определенная на ограниченном множестве А, называется измеримой на множестве А, если измеримо по Лебегу само множество А и для любого действительного числа с измеримо по Лебегу множество А(f<с).

Примеры измеримых функций.

1. Функция, определенная на ограниченном нульмерном множестве, измерима на нем.

2. Постоянная функция , определенная на измеримом По Лебегу множества А. измерима на множестве А.

Действительно, если и если .

ТЕОРЕМА. Функция , определенная и непрерывная на ограниченном открытом множестве G, измерима на нем.

Следствие. Функция, определенная и непрерывная на интервале, является измеримой на этом интервале.

ЛЕММА . Если функция измерима на множестве А, то при любом числе с будут измеримы по Лебегу следующие подмножества множества А:

(1)

(2)

(3)

(4)

ТЕОРЕМА. Функция , определенная и непрерывная на ограниченном замкнутом множестве F, измерима на нем.

Следствие. Функция определенная и непрерывная на отрезке, измерима на этом отрезке.

Определение. Пусть . Будем говорить, что функция измерима на множестве Х, если на этом множестве измеримо сужение функции

ТЕОРЕМА. Если функция является измеримой на множестве А, то она является измеримой и на любом измеримом подмножестве .

ТЕОРЕМА. Пусть функция определена на измеримом множестве А, которое является объединением конечного или счетного множества измеримых множеств . Если измерима на каждом множестве , то она является измеримой на множестве А.

Определение 3.4 Если для функций и выполнено условие , то функции и эквивалентными на множестве А, при этом пишут ~

ТЕОРЕМА. Если функция эквивалентна измеримой на множестве А функции , то функция измерима на множестве А.

Определение. Функция называется простой, если она измерима на множестве А и принимает не более, чем счетное множество значений .

Структуру простых функций описывает следующая теорема.

ТЕОРЕМА. Функция определенная на ограниченном множестве А и принимающая не более чем счетное множество различных значений , измерима тогда и только тогда, когда все множества измеримы по Лебегу.

ТЕОРЕМА. Если , - простые функции, то функции также являются простыми.