15. Сравнение интегралов Римана и Лебега.

ТЕОРЕМА 1. Если существует интеграл Римана то функция интегрируема по Лебегу на отрезке и её интеграл Лебега равен интегралу Римана

Доказательство. Рассмотрим разбиение отрезка [a;b] на частей и соответствующие этому разбиению суммы Дарбу где

Построим функции при при . Это простые функции и С ростом n отрезок, по которому вычисляется число уменьшается, следовательно, увеличивается. Поэтому последовательность монотонно возрастает: Аналогично последовательность монотонно убывает: Так как и , то существуют пределы В силу неравенств по теореме Лебега о предельном переходе заключаем, что функции и интегрируемы по Лебегу на отрезке [a;b] и Отсюда по теореме (Ограниченная функция интегрируема по Римону на отрезке [a; b] тогда и только тогда, когда существуют и равны между собой пределы , ) имеем

Следовательно, почти всюду на . Но и почти всюду на . Значит, функция интегрируема по Лебегу на и

14. Определение интеграла Лебега и его основные свойства

Определение 1.. Интегралом Лебега от ограниченной измеримой функции на множестве A называется предел последовательность простых функций, принимающих конечное число значений, равномерно сходящаяся к функции f.

ТЕОРЕМА 1.. Если mA=0, то .

ТЕОРЕМА 2. Если f и g – интегрируемые по Лебегу функции на множестве A, то функция f+g интегрируема по Лебегу на множестве на множестве A и справедливо равенство .

Доказательство. Пусть и равномерно сходящиеся к f и g соответственно последовательности простых интегрируемых функций. Тогда последовательность ( + ) равномерно сходится на множестве A к функции f+g , следовательно, f+g интегрируема по Лебегу на множестве A. Переходя к пределу в равенстве получаем доказываемое равенство.

ТЕОРЕМА 3. Если f - интегрируемая по Лебегу функция на множестве A, то для любого числа функция c·f также является интегрируемой по Лебегу на множестве A и справедливо равенство .

ТЕОРЕМА 4. Для любого измеримого по Лебегу множества A выполняется равенство .

Следствие (A - измеримое по Лебегу множество , ).

ТЕОРЕМА 5. Если функция f является интегрируемой по Лебегу на множестве A и , то .

Доказательство. Для простых функций утверждение теоремы следует из определения интеграла от простых функций. Пусть теперь f - интегрируемая и неотрицательная функция на множестве A. Тогда по теореме существует равномерно сходящаяся к функции f последовательность неотрицательных простых интегрируемых функций. Учитывая теперь утверждение теоремы для простых функций, из определения интеграла Лебега получаем справедливость теоремы.

Следствие . Если функции f и g интегрируемы по Лебегу на множестве A и , то .

Следствие . Если функция f интегрируема по Лебегу на множестве A и , то .

ТЕОРЕМА 6. Если функция f интегрируема по Лебегу на множестве A, то функция | f | также интегрируема по Лебегу на множестве A и выполняется неравенство .

ТЕОРЕМА 7. Если функция g интегрируема по Лебегу на множестве A, а для измеримой на A функции f выполняется неравенство , то функция f интегрируема по Лебегу на множестве A .