16. Полные метрические пространства

Метрическое пространство (M, ρ) называется полным, если любая его фундаментальная последовательность сходится к элементу этого пространства.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Рассмотрим множество вещественных чисел с «естественной» метрикой  , то есть метрическое пространство

.

Если   — фундаментальная последовательность элементов пространства  , то

.

В силу критерия Коши сходимости числовой последовательности последовательность   сходится, а следовательно   — полное метрическое пространство.

Пример 2. Пусть M = (0; 1), ρ(x, y)=|x-y|. Рассмотрим последовательность

элементов множества  . Так как

,

то последовательность

сходится и (согласно свойству 1 фундаментальных последовательностей) является фундаментальной. Но  , поэтому пространство (M, ρ) — не является полным метрическим пространством. Причина этого заключается в том, что интервал   — незамкнутый.

Замечание. Последовательность

 

является примером фундаментальной последовательности элементов множества M, которая не сходится в M.

Пример 3. Пусть  , ρ(x, y)=|x — y|. Рассмотрим последовательность следующую последовательность

рациональных чисел.

Как известно из математического анализа:

.

Таким образом, в метрическом пространстве (Q, ρ) существуют фундаментальные послеовательности, которые не сходятся к элементам  , следовательно, (Q, ρ) не является полным метрическим пространством.

Пример 4. Рассмотрим n-мерное евклидово пространство   с метрикой

.

Покажем, что метрическое пространство   — полное.

Рассмотрим фунментальную последовательность

(здесь номера членов последовательности обозначены индексом в скобках наверху). По определению фундаментальной последовательности,

выполняется неравенство

.

Пример 5. Покажем, что метрическое пространство непрерывных на отрезке   функций   с метрикой

является полным.

Рассмотрим фундаментальную последовательность непрерывных функций  , тогда для любого вещественного числа   существует такой номер   что при   для любого   выполняется неравенство

,

это означает, что последовательность   сходится равномерно, а так как предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций есть непрерывная функция

Если в неравенстве

,

перейти к пределу при  , то оно перейдёт в неравенство

справедливое длявсех   и любого  , а значит  , таким образом

последовательность   к   в метрике пространства  .

Пример 6. Покажем что пространство непрерывных функций   не является полным. Рассмотрим последовательность непрерывных функций вида

.

Последовательность   является фундаментальной. Действительно, рассмотрим две функции   и  , они отличаются друг от друга лишь на отрезке ширины

,

причём абсолютная величина различия не превышает 1, следовательно

.

Однако последовательность   не сходится ни к одной непрерывной функции из  . Для доказательства этого факта рассмотрим произвольную функцию   и разрывную функцию

.

В силу интегрального неравенства Минковского (это неравенство справедливо и для кусочно-непрерывных функций):

.

Так как   — непрерывная функция, а   имеет разрыв, то

.

Сдругой стороны:

и следовательно

.

Таким образом: