Истечение из суживающегося сопла

Рассмотрим процесс равновесного (без трения) адиабатного истечения газа через сопло из резервуара, в котором газ имеет параметры р₁, v₁, Т₁. Скорость газа на входе в сопло обозначим через с₁. Будем считать, что давление газа на выходе из сопла р₂ равно давлению среды, в которую вытекает газ.

Расчет сопла сводится к определению скорости и расхода газа на выходе из него, нахождению площади поперечного сечения и правильному выбору его формы.

Скорость истечения в соответствии с уравнением (80)

(81)

Выберем достаточно большую площадь входного сечения сопла, тогда с₁=0 и

(83)

где - располагаемый адиабатный теплоперепад.

Для идеального газа изменение внутренней энергии в адиабатном процессе u₁ – u₂= l вычисляется по формуле , поэтому

(84)

Тогда

(85)

Массовый расход газа т через сопло определяется из соотношения.

т=Fс₂/υ₂ (86)

где F – площадь выходного сечения сопла.

Воспользовавшись выражением (85) и (84), получим

(87)

Из выражения (86) следует, что массовый расход идеального газа при истечении зависит от площади выходного сечения сопла, свойств и начальных параметров газа (k, p₁, υ₁, ) и степени его расширения (т. е. давления р₂ газа на выходе).

По уравнению (86) построена кри­вая 1К0 на рис. 17.

Рис. 17. Зависимость массового расхода газа через сопло от отношения р₂/р₁

При p₂ = p₁ расход, естественно, ра­вен нулю. С уменьшением давления сре­ды р₂ расход газа увеличивается и до­стигает максимального значения при р₂/р₁=β_кр. При дальнейшем уменьшении отношения p₂/p₁ значение т, рассчитан­ное по формуле (51), убывает и при р₂/р₁=0 становится равным нулю.

Сравнение описанной зависимости с экспериментальными данными показа­ло, что для β_кp<p₂/p₁<l результаты полностью совпадают, а для 0<p₂/p₁<β_кр они расходятся—действительный массовый расход на этом участке остает­ся постоянным (прямая KD).

Для того чтобы объяснить это рас­хождение теории с экспериментом, А. Сен-Венан в 1839 г. выдвинул гипотезу о том, что в суживающемся сопле невоз­можно получить давление газа ниже не­которого критического значения р_кр, со­ответствующего максимальному расходу газа через сопло. Как бы мы ни пони­жали давление р₂ среды, куда происходит истечение, давление на выходе из сопла остается постоянным и равным р_кр.

Для отыскания максимума функции т=f(p₂/p₁₌f(β) (86) (при р₁ = const), соответствующего значению β_кр, возьмем первую производную от вы­ражения в квадратных скобках и при­равняем ее нулю:

откуда

(87)

Таким образом, отношение критического давления на выходе р₂ = р_кр к давлению перед соплом р₁ имеет постоянное значе­ние и зависит только от показателя адиа­баты, т. е. от природы рабочего тела.

Газ 1-атомный 2-атомный 3-атомный и перегретый пар

k 1,66 1,4 1,3

β_кр 0,49 0,528 0,546

Таким образом, изменение β_кр невелико, поэтому для оценочных расчетов можно принять β_кр≈0,5.

Критическая скорость уста­навливается в устье сопла при исте­чении в окружающую среду с давлением, равным или ниже критического. Ее мож­но определить из уравнения (84), под­ставив в него вместо отношения р₂ /р₁ значение β_кр:

(88)

Величина критической скорости опре­деляется физическими свойствами и на­чальными параметрами газа.

Из уравнения адиабаты следует, что υ₁ = υ_кр (p_кp/p₁)^1/к. Заменяя здесь отно­шение (р_кр/р₁) в соответствии с уравне­нием (87), получаем

Подставляя отсюда значение υ₁, а из (87) —значение p₁ в формулу (88), получаем . Из курса физи­ки известно, что есть скорость распространения звука в среде с параметрами p = p_кр и υ=υ_кр.

Таким образом, критическая ско­рость газа при истечении равна местной скорости звука в выходном сечении со­пла. Именно это обстоятельство объяс­няет, почему в суживающемся сопле газ не может расшириться до давления, меньшего критического, а скорость не может превысить критическую.

Действительно, как известно из фи­зики, импульс давления (упругие колеба­ния) распространяется в сжимаемой сре­де со скоростью звука, поэтому когда скорость истечения меньше скорости зву­ка, уменьшение давления за соплом пе­редается по потоку газа внутрь канала с относительной скоростью с+а и приводит к перераспределению дав­ления (при том же значении давле­ния газа p₁ перед соплом). В результате в выходном сечении сопла устанавлива­ется давление, равное давлению среды.

Если же скорость истечения достиг­нет скорости звука (критической скоро­сти), то скорость движения газа в вы­ходном сечении и скорость распростране­ния давления будут одинаковы. Волна разрежения, которая возникает при дальнейшем снижении давления среды за соплом, не сможет распространиться против течения в сопле, так как относи­тельная скорость ее распространения (а-с) будет равна нулю. Поэтому ни­какого перераспределения давлений не произойдет и, несмотря на то, что давле­ние среды за соплом снизилось, скорость истечения останется прежней, равной скорости звука на выходе из сопла.

Максимальный секундный рас­ход газа при критическом значе­нии β_кр можно определить из урав­нения (86), если в него подставить

β_кр=[2/(κ+1)]^κ/(κ-1)

Тогда

(54)

Максимальный секундный расход оп­ределяется состоянием газа на входе в сопло, величиной выходного сечения сопла F_мин и показателем адиабаты газа, т. е. его природой.

Все приведенные соотношения при­ближенно справедливы и для истечения из непрофилированных специально сопл, например из отверстий в сосуде, находя­щемся под давлением. Скорость истече­ния из таких отверстий не может превы­сить критическую, определяемую форму­лой (88), а расход не может быть больше определяемого по (89) при лю­бом давлении в сосуде. (Из-за больших потерь на завихрения в этом случае рас­ход вытекающего газа будет меньше рас­считанного по приведенным формулам).

Чтобы получить на выходе из сопла сверхзвуковую скорость, нужно придать ему специальную форму, что видно из следующего параграфа.