1. Зразок виконання завдання

Тілу (яке ми моделюємо матеріальною точкою) масою т = 40 кг надано

• І - І м

початкову швидкість У₀ (причому К₀ = |К₀І = 10—), направлену вверх по

С

н

Рисунок 3.2

Рисунок 3.1

Коефіцієнт тертя ковзання тіла по площині / = 0.1. Тіло переміщується вверх по похилій площині під дією рушійної сили Р = |р| від часу і задана графічно (рис. 3.2). Знайти швидкості тіла в моменти часу /,, /₂ та 1_} і перевірити одержаний результат для моменту часу /, за допомогою другого закону динаміки (див. формулу (20.2) посібника [2]), склавши і розв’язавши диференціальне рівняння руху тіла вздовж осі Ох (див. систему диференціальних рівнянь (20.12) і початкові умови (20.13) посібника [2]).

Розв’язання. Згідно [2] теорема про зміну кількості руху матеріальної точки або теорема імпульсів має дві форми: диференціальну (§22.1.1) і скінчену (інтегральну), наведену в §22.1.2. Використаємо скінчену форму, оскільки

42

егладенькій похилій площині, нахиленій до горизонту під кутом а = 30‘.

диференціальна форма є, по суті, перефразуванням другого закону динаміки. Якщо матеріальна точка в певний момент часу (ніщо не заважає прийняти його за початковий) / = г„ мала швидкість У„, а в момент часу / = ґ, (“кінцевий”) її швидкість стала рівною У_к (див. рис.22.2 із [2]), то справедлива рівність (22.4) із [2]:

тК-тУ'=£'іїа. _и (3.1)

Тут Р, - активні сили і реакції в’язей, що діють на матеріальну точку.

Пригадаємо також рівняння прямої на площині хОу, що проходить через дві точки (*,, >>,) та (х₂, у₂):

*~*і У-У\ ^хг~^х\ Уг-Уі'

Стосовно рис. 3.2 роль абсциси х виконує час і, а роль ординати у виконує модуль Р сили Р:

Г-*Ґ, Р-Р. „ Р.тР.,

¹ - ¹ -~Р = Р_[+——¹(ї—/,).

*2 ~ и Л ~ ^

З умови рівноваги сил в напрямку нормалі до похилої площини маємо: N - <їсова, де Є = т^. Модуль сили тертя ковзання визначається формулою:

= _/7У я fmgcosa.

1. Етап руху тіла за відрізок часу /0, /,/. Позначивши /_п =0, /. = /,, У„ = У₀, У_к = У, і врахувавши сили, що діють на матеріальну точку, спроектуємо векторну рівність (3.1) на вісь Ох:

тУ_х-тУ₀ = \\Р-mgsmaL-fmgьoso.)dt. (3.3)

* о

Тут Є, =-т#8та є проекцією сили й на вісь Ох (як і сила тертя г, складова 5 = -і сили ваги вздовж осі Ох заважає тілові підніматись уверх).

Функцію Р(і) при /є[0, /,] можна знайти або з рівняння (3.2), або з рівняння прямої, що проходить через початок координат і має кутовий

Р 4

■ но г [ь .«шм 5

у 7

= 0, 8

І/=0 М =0, 8

У„ 10

Р 20

= 0, 61

с, =400—, с₂ =2000—, / = їм. см рад 57

л ^н , ^н 59

, Н , 64

j

= 375 (Не),

Pdt ш j——tdt = — —

о о З j А

або як площу прямокутного трикутника ОМВ:

)л* = --250-ЗН-с=375Н-с.

о 2

Інші означені інтеграли в (3.3) знаходимо безпосередньо:

|(ти£8Іпа + fmgcosa)dt = т§(БІпа + / сова)?,

О

З рівності (3.3) дістаємо:

1 \

У₁=У_а + — \Р(ї№ - яфп а + / соб а)/,, т о

тобто

У,=

10 + — - 9,81 • (0,5 + 0,1 • 0,866) • З 40 ‘

• = (10 + 9.375-17.26)- = 2.1 -. с с с

Таким чином, імпульс сили Р(і) сприяє збільшенню початкової швидкості тіла (він додатний), імпульси сил Р та 5 зменшують цю швидкість (вони від’ємні).

Зауваження. Сила 5 завжди направлена вниз. Сила тертя ковзання Р направлена вниз тільки тоді, коли тіло рухається вверх. Тіло почало рухатись уверх, але наперед невідомо, чи буде воно продовжувати такий рух при всіх наступних значеннях / > 0. Перш, ніж змінити напрям руху, тіло мусить зупинитись. Встановимо, чи існує момент часу для якого К(/,) = 0. Для цього застосуємо теорему про зміну кількості руху матеріальної точки до проміжку [0, і.]. Рівність (3.3) заміниться такою:

І•

тУ(і,)-тУ₀ = /(Р-тивіпа-fmgcosa)dt.

°

Звідси

„ 250 Ії ,

-тУ_а = іи£(8іпа + / соза)/..

Підставляючи числові значення параметрів, для моменту часу /, дістаємо квадратне рівняння

/? -5.52/.+9.6 = 0,

дискримінант якого від’ємний: й = -9.6 = -1.98. Отже, момент І. не

існує: тіло при 0 й / 5 /, рухається вверх.

2. Етап руху тіла за відрізок часу [г,, /,]. З (3.2) дістаємо рівняння прямої, що проходить через точки В і С (рис.3.2):

Р = 220+10/. (3.4)

Якщо тіло рухається вверх (це припущення, яке необхідно ще довести), то

проектуванням векторної рівності (3.1) на вісь Ох дістаємо

*2

тУ₂ -тУ_] = ДР-т^БІпа-/т£СОБа)Ж. (3.5)

'і

и'

Означений інтеграл \Р(1:)Ж знаходимо або безпосередньо:

'і

\ І іп

\

= 1375(Н- с),

з

Р(!)Ж= /(220+10/>* = 220 • 5 + — Ґ

І, З V;

або як площу прямолінійної трапеції МВСІ:

, 250+300 ... ,

]Р(0Ж 5Д: = 1375 Не.

З рівняння (3.5) знаходимо

1 \

У₂ = У_] +— |/^>(/)«//-^(зіпа + /соваХ^г ”*і)

Підставивши числові^начення параметрів, маємо: У₂ = 7.68—.

Але необхідно ще пересвідчитись у тому, що при /, < / £ /₂ швидкість тіла не може змінити того напряму, який вона мала при / = /,, тобто вверх. З

рівняння (3.4) випливає, що функція P(t) монотонно зростає. Мінімальне її значення

Р(ґ,) = 250 Н > mg(sina + / cos a) = 230 Н.

Значить, і поготів для t є [/,, f₂] підінтегральна функція в (3.5) є додатною.

3. Етап руху тіла за відрЬок часу [f₂, f₃J. Функція P(t) (рис.3.2) в точці / = /₂ невизначена, відомі лише її лівостороння границя (рівна 300) і правостороння границя (рівна 200). На підставі (3.2) рівняння прямої, що проходить через точки D і Е, є таким:

Р = 300-12,5/.

Функція P(t) є спадною. Припустимо, все ж, що і на третій ділянці руху швидкість тіла направлена вверх. Проектуючи векторну рівність (3.1) на вісь Ох, дістаємо

h >.■ . mV₃-mV₂ = J(/^,-mgsina-^igcosa)<iif. (3.6)

/₂

h

Означений інтеграл \P(t)dt знаходимо або безпосередньо:

= 700(Н-с),

)p(t)dt = J(300 -12.5t)dt = 300 • 4 -—t¹ ht 2

або як площу прямолінійної трапеції ГОЕК:

/‘Р(№ = -^{00 + 15}- • 4 Н- с = 700 Н- с.

і₂ 2

З рівняння (3.6) знаходимо

1 *³

К₃ = У₂ +— [Р((№ - ^(зіп а + / со8а)(/₃ -/₂)-

^т'І

Підставивши числові значення параметрів, маємо: У₃ = 2.15—.

с

Зауваження. Пересвідчимось, що і на третій ділянці руху тіло не змінює напрям своєї початкової швидкості, тобто рухається вверх. У противному разі існував би такий момент часу f₂ <х <t₃, для якого К(т) = 0. Тоді для відрізка часу [/₂, т] мала б виконуватись рівність:

Т

mV(z)-mV(t₂)= \(P-mg sina-fmgcosa)dt.

'г

Звідси

• т V(t₂) = 300(т -1₂) - (т² -1\) - mg(sin a + / cos а)(т - r₂).

Підставляючи числові значення параметрів, для шуканого значення часу т одержуємо квадратне рівняння -

т²-11.2т-23.5 = 0.

Його корені т_{І 2} = (5.61±7.41)с. Один із них від’ємний, а інший т, = 13с > ?₃. Таким чином, зміна напряму швидкості тіла у проміжку [f₂, /₃] не відбувається: попередні викладки є законними.

4. “Перевірка” значення У_І за допомогою другого закону динаміки. Диференціальне рівняння руху матеріальної точки вздовж осі Ох під дією сил Р, F, G і N (рис. 3.1) має вигляд

тх = Р - mgsina - F

або ^

250 . . ,

х = ?-g(sma + / cosa).

Зт

Підставивши числові значення параметрів, маємо:

іс = 2,08/ - 5,75.

Ми одержали лінійне диференціальне рівняння другого порядку, розв’язане відносно старшої похідної, з правою частиною, що є функцією лише незалежної змінної t. Такі рівняння допускають безпосереднє інтегрування: _ш х = 1,04/² - 5,75/ + С,,

Г

_ХтШ_(і_5Л5._г

3. 2 ¹²

'І =0, *| = К₀ =10—і

І/=0 І»-о ⁰ _с

Отже, С, = У₀, С₂ = 0. Для t = t_{ знаходимо

*1 = V, =2.1—.

і»«, _с

Як і слід було очікувати, цей результат збігається зі знайденим раніше.

3.2 Варіанти завдань

Тілу, що рухається поступально (і, отже, може моделюватись матеріальною точкою), масою т надано початкову швидкість V_a, направлену вверх по негладенькій похилій площині, нахиленій до горизонту під кутом а (рис. 3.1). Коефіцієнт тертя ковзання тіла по площині дорівнює /. Тіло переміщується вверх по похилій площині під дією рушійної сили P(t). Залежність модуля сили Р = ІР від часу t задана таблично. При побудові графіка функції P(t) по заданих її значеннях Р₀, P_t, Р_г і Р₃ в моменти часу ґ₀, t₁ і /₃ вважати її лінійною між точками (t₀, Р₀), (ґ,, P_t), (t₂, Р₂) і (/₃, Р_}). Значення функції P(t) у вигляді дробу (див. наведену нижче таблицю) вказує

на те, що модуль сили Р в заданий момент часу зазнає розриву типу стрибка: в чисельнику вказано модуль сили в кінці проміжку часу, а у знаменнику - на початку наступного проміжку часу.

Знайти швидкості тіла в моменти часу , t₂ та ?₃ і перевірити одержаний результат для моменту часу за допомогою другого закону динаміки, склавши

і розв’язавши диференціальне рівняння руху тіла вздовж осі Ох.

4

Варі	т,		h	'Г	и	>о	X	Pi			a	/
ант	кг	м/сек	сек			H				град
1	35	5,4	4	10	18	100	200	150	250		25	0,10
2	20	0	6	10	15	200	160	160	180		37	0,25
3	25	0	4	10	16	200	200/120	120	0		21	0,10
4	10	4,5	5	10	16	0	180	40	100		32	0,12
5	16	9,0	4	8	16	120	120/0	0	160		24	0,08
6	40	4,0	4	8	12	400	300	300	0		40	0,06 «.
7	20	8,0	5	8	I 11	0	300	0	0		25	0,20
8	16	7,6	6	11,	13	75	200	0	0		23	0,12
9	12	0	6	10	14	100	140	0	0		20	0,20
ІО	50	12,0	2	6	12	ІЗ	300	JOQ.	200		27	0,08
сгг	то-	-VT	6	10	16	50	100	100	200		35/
12'	тг	3,0	3	8'	14	60	180 "	120	~*T2Ü		~тг-	Xtff
13	10	8,0	4	12	16	0	150	150	100		30	0,18
14	20	8,5	5	8	15	40	100	150	0		23	0,07
15	14	9,0	7	12	18	0	140	0	100		18	0,15
16	20	3,0	5	9	17	300	150	100	100		39	0,12
17	24	10,0	6	10	15	0	180	60	140		15	0,20
18	15	13,0	8	16	20	110	150	0	90		26	0,22
19	15	7,2	3	10	16	150	110	90	120		30	0,30
20	22	8,2	2	9	11	70	110	110	50		15	0,15
21	13	10,0	8	12	16	0	200/0	0/200	100		28	0,14
22	11	6,0	7	9	14	160	0	0/100	120		31	0,11
23	12	4,5	5	10	16	50	120	40	80		21	0,22
24	10	7,0	4	14	29	100	50	50	0		18	0,09
25	18	0	8	10	16	180	160/0	0/140	180		33	0,17
26	8	9,0	4	8	12	0	150	0	120		45	0,10
27	17	5,0	7	10	18	190	170/0	100	280		38	0,21
28	9	7,5	4	12	17	0	140/70	100/70	70		26	0,20
29	20	9,5	5	6	11	0	400	400/100	200		60	0,25
ЗО	10	10,2	6	7	10	120	70	0	120		33	0,15