Завдання д-4. Знаходження частот малих вільних коливань і власних форм коливань консервативних механічних систем з двома ступенями вільності

Серед різних способів складання диференціальних рівнянь руху

голономних систем матеріальних точок і твердих тіл метод рівнянь Лагранжа

другого роду приваблює простотою, алгоритмічністю (зручною при розробці

програм для комп’ютера), однаковою придатністю для вивчення як

поступальних, так і обертальних рухів тіл. Якщо д_х, ц_г, ..., д„ - узагальнені

(криволінійні, лагранжеві) координати, Т(д - кінетична

енергія, ,Чя*1) ~ потенціальна енергія, - непотенціальні узагальнені

сили, то рівняння Лагранжа другого роду мають вигляд

Р 4

■ но г [ь .«шм 5

у 7

= 0, 8

І/=0 М =0, 8

У„ 10

Р 20

= 0, 61

с, =400—, с₂ =2000—, / = їм. см рад 57

л ^н , ^н 59

, Н , 64

де £ = Г - 7і - функція Лагранжа або кінетичний потенціал.

1. Зразок виконання завдання

Система (рис. 4.1) складається із вантажу В, підвішеного до важеля ЕО на

пружині жорсткості с₃ = 40—.В точках Е і й важіль опирається на пружини

см

Н Н

жорсткостей с, = 60—, с₂ = 40—. Маса вантажу В дорівнює т, = 0.5 кг, см см

маса однорідного стержня ££> дорівнює т₂=3 кг. Знайти частоти вільних коливань і власні форми коливань, знехтувавши силами опору і масами пружин. Покласти /, = 0.2 м, /₂ = 0.6 м, /₃ = 0.3 м.

«

Розв’язання. У стані спокою важіль займає горизонтальне положення (рис. 4.1). Статичні деформації пружин 1, 2 і 3 позначимо А,, Д₂ і Д₃

в ідповідно; при цьому пружину 1 стиснуто (на величину Д|), пружину 2 розтягнуто (на величину Д₂), пружину З розтягнуто (на величину Д₃). Чому? (Пояснити). Виведемо

систему зі стану рівноваги. У збуреному положенні важіль зображено на рис. 4.2. Проведемо вертикально вниз вісь В₀г, де В₀ - положення спокою. За узагальнені координати приймемо: <ц_{ = г

• вертикальне зміщення вантіажу від стану спокою; <?₂ = Ф - кут повороту важелю Ей від стану спокою. На рис. 4.2 показано положення системи при додатних значеннях узагальнених координат.

Для даної консервативної системи рівняння (4.2) набувають вигляду

^_дТ_дТ ₌ _^_

Ж дг дг дг ’

(4.3)

±дТ_дТ ₌ _дп Ж 5ф Зф 9ф

Кінетична енергія системи складається із кінетичної енергії вантажу В (який здійснює коливальні прямолінійні рухи вздовж осі В₀г) і кінетичної енергії важелю ££> (який здійснює коливальні обертальні рухи у вертикальній площині навколо циліндричного шарніру О). Тому

_ т, .₂ і .і ^ = у*²+-ф²,

де І - момент інерції стержня ЕЮ відносно осі, що проходить через точку О перпендикулярно площині рисунка. Оскільки стержень ЕО однорідний, його центр ваги знаходиться посередині стержня, тобто в точці С, відстань якої до

.

/, +/₂

кінців Е і £>стержня дорівнює

На підставі залежності між моментами

і

12

нерції відносно паралельних осей маємо І = І_с+т₂сі . Тут 1_С =

центральний момент інерції стержня, / = /,+/₂ - його довжина,

= 0.2 м - віддаль від центра ваги С стержня до

СІ = ОС = -1.

т

⁽ І¹

-+сі² 12

= 0.28 кгм .

очки О. Отже, / = т.

Потенціальну енергію системи я = п_і + п₂ знайдемо як суму потенціальної енергії я, важеля і вантажу в полі сил ваги і потенціальної енергії я₂ деформованих пружин. Із формули (22.42) посібника [2] випливає, що

А(М_КМ_П) = я(АГ_к) - л(Л/_п), тобто потенціальна енергія системи дорівнює роботі сил при переміщенні системи із збуреного (відхиленого) положення в нульове (положення статичної рівноваги). Отже,

X-і,

я

-Ф.

(4.5)

і =А = ОС-$ іп *

я, = т_гі

Якщо пружину розтягнуто вздовж осі Ох на величину х (де О — кінець недеформованої горизонтальної пружини), то потенціальна енергія

деформованої пружини я = ^х² (див. с. 89 посібника [2]). ••

В даній задачі потенціальну енергію пружин (рис. 4.2) знайдемо, розглянувши спочатку переміщення системи із відхиленого положення в

положення, що відповідає недеформованим пружинам, а потім із цього положення - в положення спокою.

Деформації пружин у відхиленому (збуреному) положенні позначимо

4. /,<р ± А, для пружини 1; ^₂/₂ф ± Д₂ для пружини 2; £₃/₃ф + г + Л₃ для пружини

3. Отже

^⁺у 2^Л- "і^А' ^-$(АФ±А.)^а+

+ ^-(/₂Ф± д_г)² +^(/₃ф ₊ г ₊ Л₃)² -|ді -|д² -|д² = |/,У +

+ у/²ф² + у(М> + *)² ±с,/,Д,ф±с₂/₂Д₂ф + с₃Д₃(/₃ф + 2).

Потенціальна енергія всієї системи у відхиленому (збуреному) положенні є такою:

71 = -/И_ій2 + ІИ₂^^¹ф + ^-(с_|^/₁² +С₂/₂² +С₃/²) + С₃/₃2ф + ^-_г² ±

± с,/, Д ,ф ± с₂/₂ Д ₂ф + с₃/₃Д₃ф + с₃ Д₃г.

Узагальнені координати було вибрано таким чином, що у стані рівноваги (спокою) системи їхні значення є: 2-0, ф = 0. Оскільки системи

консервативна, то умови рівноваги визначаються рівностями

=

= 0,

0,

:=0

ф=0

г=0

Ф=0

тобто

• —

  -т,£ + с₃Д₃ =0, Щ8

  (4.7)

  ± є,/,Д, ± с₂/₂Д₂ + с₃/₃Д₃ = 0.

Залежності (4.7) між параметрами системи є необхідними і достатніми для її рівноваги на підставі умов рівноваги (4.7) лінійні члени у виразі (4.6) взаємно знищуються, і потенціальна енергія (4.6) набуває стандартного (для теорії малих коливань навколо положення стійкої рівноваги) вигляду квадратичної форми узагальнених координат:

Л = у 2² + с₃/₃гФ + і (с,/,² + с₂/² + с₃/₃² )Ф².

Кінетична енергія системи є квадратичною формою (4.4) узагальнених швидкостей. Далі обчислюємо необхідні для розгортання рівнянь (4.3) похідні:

дТ _Л дТ . дя

— = 0, — = ТП_Х2> — = С₃2 + С3/3Ф,

(4.8)

Р 4

■ но г [ь .«шм 5

у 7

= 0, 8

І/=0 М =0, 8

У„ 10

Р 20

= 0, 61

с, =400—, с₂ =2000—, / = їм. см рад 57

л ^н , ^н 59

, Н , 64

(/ф + (с,/,² + с₂/² + с₃/² )ф + С3/3Г = 0.

Відмітимо, що коливання по координатах г і ф є зв’язаними, лише завдяки

пружині 3: при с₃* = 0 система (4.9) четвертого порядку розпадається на два

незалежні диференціальні рівняння другого порядку.

Частинний розв’язок системи рівнянь (4.9) шукаємо у формі

2-АзЩ(6ґ + ос), ф = Взіп(о)Г + а). (4.10)

Тут А і В - амплітуди головних коливань, со - кругова частота вільних

коливань, а - початкова фаза коливань. Підставимо функції (4.10) в (4.9):

Г(с₃ -ті(й²)А + с₃1₃В = 0,

| с₃1₃А + (с,/,² + с_гі\ + е₃/₃ - /о² )В = 0.

З необхідної і достатньої умови існування нетривіального розв’язку цієї лінійної однорідної (відносно невідомих А і В) системи алгебраїчних рівнянь

с

= 0

_ъ~т_х со² с₃/₃

с₃/₃ с,/² + с_гі\ + с₃/₃ - /со^:

дістаємо рівняння частот

А((0²) = (с₃ -/и,а>²)(с,/² + с₂/₂ + с₃/₃² - /со²) - с₃/₃² = 0,

або

А(со²) = т,/со⁴ - [с₃/ + т_х (с,/,² + с₂1₂² + с₃/₃)]со² + с₃(с,/² + с₂/₂) = 0. Позначимо П = со . Для знаходження СІ маємо квадратне рівняння

Д(0²) = ія,/П ~[с₃/ +/и,(с,/² + с₂/₂ +с₃/²)]п + сз(с₁/₁² + с₂/₂) = 0.

По двох додатних його коренях П, і П₂ можна знайти дві частоти вільних коливань со, = 66.4с'¹; со₂=104с‘^|. Кожній частоті вільних коливань

відповідають два головні коливання з амплітудами Л,, Д, і А₂,В₂:

+

со,

с₃/₃Я, =0,

1с₃/₃Л, +(с,/,² +с₂/₂² +с₃/₃ -/со*)£, = 0

(

со₂ ->

с₃ -т_х(й\)А₂ + с₃1₂В₂ = 0,

с₃/₃Л₂ +(с,/,² +с₂/₂ + с₃/₃ -/со₂)В₂ = 0.

Звідси

5, . ^со² -с₃ Л, с₃/₃

В, т.со₂-с,

Ці. Т-⁼ /

2

Підставивши числові значення параметрів, одержуємо коефіцієнти форм

коливань: ц, =-1.49-—, ц₂ = 1.2-—.

м м

Н а підставі (4.10) перше головне коливання описується рівняннями £ 2, = А_х зіп(66.4/ + а,),

Ф, = -1.49 А₁ зіп(66.4ґ + а₁); друге головне коливання описується рівняннями

2₂ = А₂ зіп(104/ + а₂), ср₂ = 1.2і4₂ $іп(104ґ + а₂).

П ершу форму коливань показано на рис. 4.3. Оскільки коефіцієнт форми ц, <0, то в першому головному коливанні додатному значенню змінної 2 відповідає від’ємне

значення змінної ф. Другу форму коливань показано на рис. 4.4. Оскільки

коефіцієнт форми > 0, то у другому головному коливанні обидві змінні 2 і

ф мають однаковий знак (на рис. 4.4 він додатний). Загальний розв’язок

системи диференціальних рівнянь (4.9) є таким:

= + г₂ = 8Іп(66.4/ + а,) + Л₂ 5Іп(104/ + а₂},

[ф = ф, + ф₂ = -0.0149Л, зіп(66.4/ + а,) + 0.012Л₂ зіп(66.4/ + а₂).

Постійні інтегрування Л,, Л₂, а, і а₂ визначаються із початкових умов задачі.