1.3 Экономическая интерпретация решения задач лп

ПРИМЕР 1.1: предприятие изготавливает два вида продукции П₁ и П₂. Для производства продукции используется два вида сырья А и Б. Максимально возможные запасы сырья, расход сырья на единицу приведены в таблице.

Таблица 1.1.

Сырье	Расход сырья на единицу		Запас сырья
	П1	П2
А	2	3	9
Б	3	2	13

Опыт работы показал, что суточный спрос на продукцию П₁ никогда не превышает спрос на продукцию П₂ больше, чем на единицу. Спрос на продукцию П₂ ≤ 2 единицы в сутки. Цена реализации П₁ составляет 3 ден.ед., П₂ – 4 ден.ед.

Какой объем продукции каждого вида должно выпускать предприятие, чтобы максимизировать свой суточный доход?

РЕШЕНИЕ.

Введем переменные: x₁ – объем выпуска продукции П₁; x₂ – объем выпуска продукции П₂. Математическая модель задачи и задача в каноническом виде имеют следующий вид:

Дополнительные переменные (х₃, х₄, х₅, х₆, которые прибавили к левым частям соответствующих неравенств) имеют экономический смысл: они показывают величину неиспользованного ресурса. Так, в данном примере х₃ показывает величину неиспользованного сырья А, х₄ – сырья Б, х₅ показывает неиспользованную разницу в спросе на продукцию П₁ и П₂, х₆ – невостребованное количество продукции П₂.

Составим исходную симплекс-таблицу:

Таблица 1.2.

Базисные переменные	Решение	х1	х2	х3	х4	х5	х6
х3	9	2	3	1	0	0	0
х4	13	3	2	0	1	0	0
х5	1	1	-1	0	0	1	0
х6	2	0	1	0	0	0	1
-F	0	-3	-4	0	0	0	0

Решая задачу симплекс-методом, получим следующую итоговую симплекс-таблицу:

Таблица 1.3.

Базисные переменные	Решение	х1	х2	х3	х4	х5	х6
х1	2,4	1	0	0,2	0	0,6	0
х4	3	0	0	-1	1	-1	0
х6	0,6	0	0	-0,2	0	0,4	1
х2	1,4	0	1	0,2	0	-0,4	0
F	12,8	0	0	1,4	0	0,2	0

Итоговая симплекс-таблица позволяет ответить на ряд вопросов, касающихся анализа на чувствительность:

1) остаточные (балансовые или дополнительные) переменные х₃, х₄, х₅, х₆ позволяют определить статус ресурсов. Если значение остаточной переменной равно нулю (х₃ и х₅), то ресурс израсходован полностью, т.е. является дефицитным.

Положительное значение остаточной переменной (х₄=3, х₆=0,6) говорит о недефицитности соответствующего ресурса. Это и есть величина избытка. Соответствующие ресурсы можно уменьшить на полученную величину без изменения значения ЦФ.

2) Теневая цена ресурсов указана в последней строке симплекс-таблицы. Наиболее выгодный первый ресурс (сырье А, ему соответствуем переменная х₃), т.к. он имеет наибольшую теневую цену у₁=1,4. Поэтому дополнительные капиталовложения, в первую очередь, следует направлять на увеличение запаса сырья А (первый ресурс) и лишь затем на формирование разницы в спросе на продукциюП₁ и П₂.

3) Максимальное изменение запаса ресурса.

Пусть запас первого ресурса (сырье А) изменится на величину ∆₁, тогда результирующая симплекс-таблица примет вид:

Таблица 1.4.

Базисные переменные	Решение	х1	х2	х3	х4	х5	х6
х1	2,4+0,2∙∆1	1	0	0,2	0	0,6	0
х4	3-1∙∆1	0	0	-1	1	-1	0
х6	0,6-0,2∙∆1	0	0	-0,2	0	0,4	1
х2	1,4+0,2∙∆1	0	1	0,2	0	-0,4	0
F	12,8+1,4∙∆1	0	0	1,4	0	0,2	0

Т.к. изменение величины ресурса сказывается только на элементах столбца «Решение», то это может повлиять только на допустимость решения, поэтому должна выполняться система:

Решая систему неравенств, получим: –7 ≤ ∆₁ ≤ 3. Т.о., уменьшение запаса сырья А (первый ресурс) более чем на 7 единиц или увеличение более чем на 3 единицы, приведет к недопустимости полученного решения и новой совокупности базисных переменных. Внутри указанного интервала решение будет действительным. Запас сырья А должен быть в пределах:

9 –7 ≤ 9+∆₁ ≤ 9+3,

2 ≤ запас сырья А ≤ 12.

Вывод: запас сырья А можно увеличить на 3 единицы с 9 до 12, это приведет к увеличению ЦФ с 12,8 до 17 единиц (12,8 + 1,4∙3 = 17).

4) Анализ на чувствительность оптимального решения к изменению коэффициентов ЦФ.

Пусть доход, получаемый с единицы продукции П₁ изменится на величину ∆₁, тогда итоговая симплекс-таблица примет вид:

Таблица 1.5.

Базисные переменные	Решение	х1	х2	х3	х4	х5	х6
х1	2,4	1	0	0,2	0	0,6	0
х4	3	0	0	-1	1	-1	0
х6	0,6	0	0	-0,2	0	0,4	1
х2	1,4	0	1	0,2	0	-0,4	0
F	12,8+2,4∙∆1	0	0	1,4+0,2∙∆1	0	0,2+0,6∙∆1	0

х₃ и х₅ не вошли в базис, должно выполняться:

–1/3 ≤ ∆₁ ≤ + ∞.

При изменении цены на первый вид продукции от 8/3 до + ∞ оптимальные значения переменных останутся неизменными:

3-1/3 ≤ Ц₁ = 3 ≤ 3+ ∞ = ∞.