Геродот і Арістотель про походження геометрії

Слово «геометрія» утворене від двох давньогрецьких слів «гео» — земля і «метрео» — вимірюю, отже, дослівно означає «землемірство». (Корінь «гео» входить до складу назв й інших наук, як-от: географія, геологія, геодезія, геомеханіка, геофізика, геохімія тощо).

Про походження геометрії «батько історії» Геродот у V ст. до н.е. дослівно писав так:

«Єгипетські жерці говорили, що цар Сесотріс розділив землю між усіма єгиптянами, давши кожному по прямокутній ділянці; з цього він почав отримувати дохід, наказавши щорічно сплачувати податок. Якщо ж від якої-небудь ділянки Ніл відрізав якусь частину, то власник, приходячи до царя, сповіщав про цю пригоду. Цар же посилав людей, які повинні були обстежити ділянку землі і виміряти, наскільки меншою вона стала, щоб власник сплачував податок з решти площі, пропорційно до встановленого. Мені здається, що саме так було винайдено геометрію, яка потім з Єгипту була перенесена в Елладу».

Отже, Геродот пов'язував походження геометрії з практичними потребами людини, а саме — з вимірюванням і межуванням земель.

Через два століття після Геродота енциклопедист античного світу Арістотель висловив зовсім іншу думку про походження геометрії. Основне джерело виникнення цієї науки він вбачав у вільній розумовій діяльності наділених дозвіллям людей: «Математичне мистецтво найперше було створене в Єгипті, оскільки там жерці мали час для дозвілля».

Одначе істина, мабуть, поєднує обидва ці припущення. Вочевидь важливими були і практичні потреби, і вільна розумова діяльність.

Від прадавньої єгипетської епохи до нас дійшли лише дві цілісні математичні пам'ятки. Це записані на папірусі збірники задач із розв'язаннями. Глибоко символічним є початок і закінчення папірусного тексту, автор якого називає себе писарем Ахмесом. Перша фраза є своєрідним пророцтвом майбутніх злетів математики в царині духу: «Способи, за допомогою яких можна дійти до розуміння сутності усіх потаємних речей, усіх таємниць, що містяться в речах». А остання — ніби застерігає від нехтування земними проблемами: «Лови гадів, мишей, виполюй бур'яни, дбай про пишну пряжу, проси в бога Ра тепла, вітру і високої води». Так споконвіку поєднуються в математиці ці дві сили — вільна розумова фантазія і зв'язок з життям у природному та суспільному середовищах.

Платон і Арістотель про зміст геометрії

Не поділяючи думки Геродота про «практичне» походження геометрії, Арістотель був ще категоричнішим у визначенні завдань цієї науки. В цьому він повністю солідаризувався зі своїм знаменитим учителем Платоном, який завданням науки вважав осягнення лише вищих істин, не зв'язаних з житейськими проблемами.

Для науки про вимірювання землі Арістотель запропонував іншу назву — «геодезія» (дослівно: «поділ, межування землі»). З цією назвою, хоч і з дещо ширшими функціями, ця наука існує й досі. Натомість геометрія здобула статус суто теоретичної науки, яка при потребі може, звичайно, застосовуватися і для практичних потреб, наприклад, в тій же геодезії. Але основним її призначенням було пізнання першооснов буття, а також розвиток самого мислення. Адже мислення вважалося тоді єдиним знаряддям достовірного пізнання.

Арістотель був найвидатнішим учнем (і товаришем) Платона. Але потім радикально розійшовся з ним у поглядах на основні філософські проблеми буття і пізнання, нібито сказавши при цьому крилату фразу: «Платон — мій друг, але істина — дорожча».

Платон учив, що оскільки в навколишньому світі, який ми сприймаємо за допомогою органів чуттів, усе безперервно змінюється (як влучно сказав Геракліт, «і в одну річку не можна увійти двічі»), то вивчати такий світ не має сенсу. Вивчати ж потрібно те, що є незмінним. За Платоном, це — світ ідей, тобто ідеальних образів і форм. Цей світ існує окремо від матеріального світу. Останній же є лише недосконалим і мінливим втіленням ідеального світу, доступним людським органам чуттів. Пізнання ж ідеального світу можливе лише з допомогою найдосконалішого інструменту — мислення. Будь-які спостереження за реальним світом мають сенс лише настільки, наскільки вони сприяють прагненню розгледіти обриси цього ідеального світу.

Погоджуючись із Платоном у тому, що ідеальні форми і обриси повинні існувати, Арістотель, проте, не відривав їх від матерії, а вважав, що матерія містить їх у собі — так само, як насіння містить у собі ідею рослини, яка з нього проростає. Матерія, за Арістотелем, не безформна маса, а напружена субстанція, у якій постійно втілюються (проростають) певні форми. Саме в цьому і полягала основна причина «ідейної» суперечки між учителем Платоном і учнем Арістотелем.

Суперечка ця, однак, жодним чином не ставила під сумнів важливість геометрії — і як науки про ідеальні просторові форми, і як засобу для розвитку логічного мислення. Переповідають, що над входом до своєї школи мудрості в Афінах — Академії — Платон звелів викарбувати пересторогу: «Не заходь, не обізнаний з геометрією». А одному з бажаючих вступити в Академію Платон, за переказами, відповів: «Іди геть! Ти не знаєш геометрії. Тому в тебе немає знаряддя для вивчення філософії».

Ні Платон, ні Арістотель самі активно математикою не займалися. Проте їхній авторитет незмірне сприяв підтримці постійного інтересу до математичних проблем. Крім того, вони справили значний вплив і на саму методологію математичних досліджень.

Саме в Академії виникла ідея створення систематичного курсу геометрії, тобто курсу, побудованого на аксіоматичній основі за чіткою логічною схемою, у якій кожне наступне твердження виводиться з попередніх. Навіть сам термін «аксіома» вперше зустрічаємо в Арістотеля. Філософ уживав його в значенні «самоочевидної, незаперечної істини». Сукупність таких істин і покладалася в основу науки. Все інше повинно виводитися з аксіом суто логічним шляхом. Цю ідею блискуче реалізував Евклід, який замолоду слухав Арістотеля, а, може, — і Платона.

Арістотель також звернув увагу на необхідність прийняття лише конструктивних означень. Стосовно геометрії це означало, що з прийняттям кожного нового описового означення повинні вказуватися і конкретні побудови (конструкції), які б ілюстрували те, що фігури чи відношення, які вводяться в розгляд цим означенням, насправді існують. Цього правила беззастережно дотримувався Евклід.

Платону належить і сам термін «стереометрія». Його було утворено від грецьких слів «стереос» («тілесний», «просторовий») і «метрео» («вимірюю»). Термін «планіметрія» з'явився значно пізніше — за доби Середньовіччя, і був утворений від латинського слова «planum», тобто «площина».

Протиставлення геометрії та стереометрії відповідало основній рисі філософського вчення Платона, в якому обґрунтовувалася принципова відмінність «нижнього» і «вищого» світів. Проте геометрії цих світів, тобто планіметрія і стереометрія, виявилися навдивовижу взаємопов'язаними. Загалом можна стверджувати: стереометрія значною мірою ґрунтується на планіметрії. Цей факт фіксується в одній із аксіом стереометрії.

Планіметрію інколи умовно називають «геометрією мотузки», а стереометрію — «геометрією світлових променів». Йдеться про те, що фізичними прообразами прямих у планіметрії виступають туго напнуті мотузки (послуговуючись якими, можна проводити вимірювання на місцевості), а в стереометрії — світлові промені. Винятковою особливістю нашого світу є те, що «геометрія мотузки» узгоджується з «геометрією світлових променів».

Такий глибинний внутрішній зв'язок між стереометрією і планіметрією проявляється і в самій методології обґрунтування стереометричних фактів, яка суттєво спирається на планіметрію. Для з'ясування й обґрунтування стереометричних фактів дуже часто доводиться «занурюватися» у планіметрію.