Ще одна філософська основа геометрії

Запропонований Евклідом V постулат вирізнявся з-поміж усіх інших початкових тверджень, покладених ним в основу геометрії, надто довгим формулюванням. Тому згодом виникла думка про можливість доведення цього твердження як теореми. А оскільки в античній науці найбільш істинними вважалися знання, виведені логічним шляхом з якомога меншої кількості припущень, то доведення V постулату, яке дозволило б вилучити це твердження з числа аксіом геометрії, означало б в очах тогочасних учених надання цій науці ще більшої достовірності. Це пояснює, чому за цю проблему взялися з винятковою заповзятістю.

Великі пошуки

Однак проблема виявилася не такою простою, як здавалося на перший погляд. У різні часи і в різних місцях за неї бралися найвидатніші математики. Але бажаного результату не досягали. У «доведеннях», які час від часу все ж таки пропонувалися, при більш ретельнішому аналізі виявлялася одна і та ж логічна вада: використовувалися твердження, які, хоча й були наочно очевидні, але не зафіксовані як аксіоми. Більше того, самі ці твердження виявлялися так само еквівалентними V постулату, як йому еквівалентна сучасна аксіома про паралельні прямі. Тому в усіх цих «доведеннях» здійснювалося хибне логічне коло, тобто використовувалося якраз те, що і треба було довести.

Потрапляли в це хибне коло навіть найвидатніші математики. Наприклад, Лежандр у своєму «доведенні», яке він помістив навіть в одному з численних видань своїх «Початків геометрії», використовував таке, здавалося б очевидне і незаперечне твердження: через точку А, взяту всередині кута О (рис.6), з авжди можна провести пряму, яка перетинає обидві його сторони. Пізніше Лежандр помітив цю свою помилку, і в наступному виданні його підручника V постулат Евкліда знову зайняв своє звичне місце серед аксіом.

Нарешті, на початку XIX ст. безуспішність численних спроб довести V постулат наштовхнули тоді ще молодого викладача Казанського університету, а пізніше всесвітньо відомого математика Миколу Івановича Лобачевського (1792-1856) на думку, що доведення, про яке мріяло так багато учених, насправді неможливе.

Для підтвердження цієї своєї здогадки Лобачевський почав крок за кроком виводити логічні наслідки з посиланням на твердження, яке було запереченням V постулату Евкліда. Якби таким способом вдалося прийти до суперечності, то це означало б, що зроблене припущення хибне, отже, істинний V постулат. А це й було б омріяним доведенням. Проте суперечності не виникало. Одержані наслідки, щоправда, разюче суперечили щоденному фізичному досвіду. Але логічної суперечності між ними не було. З цього Лобачевський зробив сміливий висновок про неможливість логічного доведення V постулату Евкліда, а одержану низку наслідків з його заперечення назвав «уявною» геометрією.

Це феноменальне відкриття поклало початок нової ери в математиці — ери математичних теорій, побудованих на різних системах аксіом. «Уявна» геометрія Лобачевського стала першим прикладом аксіоматичної теорії, відмінної від евклідової геометрії. За це відкриття англійський математик Джеймс Сильвестр (1814-897) назвав Лобачевського «Коперником геометрії».

Заради справедливості слід відзначити, що до того ж відкриття, що й Лобачевський, незалежно від нього і майже одночасно з ним прийшли ще два учені — німецький математик Карл Фрідріх Ґаусс (1777-1855) та угорський математик Янош Больяі (1802-1860). Однак їхні дослідження з цієї проблеми не були такими масштабними, а виступи в наукових колах із захистом нових поглядів такими сміливими, як Лобачевського.