Піфагор і піфагорійці

Усім добре відома теорема Піфагора про співвідношення між сторонами прямокутного трикутника. На жаль, цим фактом здебільшого й обмежуються наші знання про внесок Піфагора в науку. Але Піфагор мав також інші, не менш вагомі, наукові здобутки. В першу чергу — це ідея математичного моделювання в природознавстві, а також ідея виділення першооснов (пізніше їх назвуть аксіомами) для логічної розбудови наукових теорій.

Піфагор народився на грецькому острові Самос, неподалік від Мілета — батьківщини Фалеса. Кажуть, що саме старий Фалес порадив юному Піфагору за власним прикладом вирушити на навчання у східні країни. Нібито аж 20 років Піфагор навчався мудрості в єгипетських жерців, а ще 12 років — у халдейських магів. Можливо, побував він і в Індії, бо дуже багато ідей з його філософського вчення нагадує вірування індусів.

Повернувшись на батьківщину, Піфагор не залишився на Самосі, а втік від тамтешнього правителя до вільної грецької колонії Кротон, розташованої на півдні Італії. Тут він заснував знамените науково-філософське і політичне братство. Одна з легенд стверджує, що саме тоді, тобто уже в зрілому віці, Піфагор одержав і своє ім'я — за те, що володів істиною, наче знаменитий дельфійський оракул, котрий говорив устами жриці — піфії.

Легенда стверджує, що, проходячи одного разу біля кузні, Піфагор почув навдивовижу мелодійне звучання трьох молотів, якими ковалі, куючи залізо, одночасно вдаряли по ковадлу. Зацікавившись причиною такої гармонійності, Піфагор зважив молоти. Виявилося, що їхня вага пропорційна певним початковим числам натурального ряду. Аналогічні результати дало вимірювання струн, що утворювали гармонічні (консонантні) співзвуччя при одночасному звучанні. Саме це нібито й дало Піфагору підстави вважати, що все в природі підкоряється числовим закономірностям, тобто визначається числами. «Все є число» — крилата фраза, що з'явилася в школі Піфагора. Тому вивчення чисел вважалося ключем до пізнання природи.

Громом серед ясного неба стало для піфагорійців відкриття ними несумірності сторони і діагоналі квадрата. Це відкриття означало, що навіть відношення відрізків не завжди можна виразити у вигляді відношення цілих чисел. Віра у всесильність цілих чисел похитнулася. Спочатку навіть було вирішено не розголошувати це відкриття і тримати його в суворій таємниці. Легенда стверджує, що з таким рішенням не погодився якийсь Гіппас, котрий і розголосив таємницю. За це його піддали найвищій мірі осуду серед піфагорійців — символічному похованню. Після цього Гіппас нібито й справді потонув під час морської бурі.

Як би там не було, але після цього відкриття математичні інтереси піфагорійців перемістилися з арифметики на геометрію. Відтак подальший розвиток грецької математики відбувався під знаком геометрії.

Про математичні здобутки самого Піфагора достеменно мало що відомо. За звичаєм, якого дотримувалися в його школі, усі відкриття, здійснені піфагорійцями, приписувалися Учителю, тобто Піфагору. А щоб надійно приховати знання від невтаємничених, їх передавали лише в усній формі. Тому-то й неможливо точно сказати, які з відкриттів, що приписувалися піфагорійцям, належать самому Піфагору, які — його учням чи послідовникам, а які належать іншим ученими.

Найвидатнішим математичним відкриттям, яке приписується Піфагору, є, звичайно, знаменита теорема Піфагора. З вавилонських математичних текстів відомо, що у Вавилоні про цю теорему знали принаймні за тисячу років до Піфагора. Тож цілком можливо, що Піфагор дізнався про неї під час своїх подорожей на Схід. Але безсумнівною його (чи його школи) заслугою було логічне доведення цієї теореми. Захоплені цим доведенням, нащадки Піфагора придумали навіть легенду про те, що на знак вдячності богам за це відкриття Піфагор здійснив гекатомбу — тобто приніс у жертву сто биків. Легенда, щоправда, не зовсім узгоджується з морально-етичними переконаннями піфагорійців, які були противниками будь-якої надмірності і не визнавали жертвоприношень живими істотами. Але вона яскраво передає захоплення греків силою розуму.

Як саме доводив Піфагор свою теорему, достеменно не відомо. Тепер відомо сотні різних доведень цієї теореми. Цілком можливо, що саме доведення Піфагора подає Евклід у своїх «Началах» (цікаво, що найважливіша в ідейному плані перша книга цього твору завершується якраз теоремою Піфагора).

Ц е доведення Евкліда базується на такому факті: площі прямокутника і трикутника, що мають спільну основу і рівні висоти (рис. 1), відносяться, як 2:1 (переконайтеся в цьому). Сама ж теорема формулюється так: «У прямокутному трикутнику квадрат, побудований на гіпотенузі, рівновеликий двом квадратам, побудованим на катетах».

Д оведення (Евкліда). Нехай АВС — заданий прямокутний трикутник з прямим кутом С, а АСНF, ВСGК, АВЕD — квадрати, побудовані на його сторонах (рис. 2). Проведемо СL║АD, а потім відрізки АК, ВF, СD і СЕ. ∆ABF=∆ADC, а ∆ВАК=∆ВЕС (за першою ознакою). Але площа ∆ABF дорівнює половині площі квадрата АСНF, а площа ∆ADC — половині площі прямокутника АDLМ. Оскільки ж трикутники рівновеликі, то рівновеликі і фігури АСНF та АDLМ. Аналогічно встановлюється, що рівновеликі фігури ВСGК та МВЕL. Цим доведенням теорема Піфагора завершується.

С имволом піфагорійського братства був правильний зірчастий п'ятикутник (рис. 3). Піфагорійці носили його на грудях і таким чином могли відразу розпізнати один одного. В одній з легенд стверджується, що подорожній піфагорієць, який не мав чим розплатитися з господарем за нічліг, намалював на стіні його будинку цей знак. Згодом інший піфагорієць, який випадково побачив знайомий символ, щедро заплатив господареві за свого товариша.

П равильний зірчастий п'ятикутник можна утворити з правильного опуклого п'ятикутника, провівши в ньому діагоналі (рис. 4).

Підставою для обрання піфагорійцями символом свого братства саме цієї фігури ймовірно було те, що кожна її сторона ділиться іншими двома сторонами у так званому середньому і крайньому відношенні. Такий поділ здавна називали золотим, він вважався теоретично найдосконалішим і естетично найпривабливішим.

З а означенням, точка М ділить відрізок АС (рис. 5) в середньому і крайньому відношенні (тобто визначає золотий поділ відрізка АС), якщо відношення меншої частини відрізка до більшої дорівнює відношенню більшої частини до всього відрізка: .

Неважко показати, що діагоналі правильного п'ятикутника (тобто сторони правильного зірчастого п 'ятикутника) справді поділяють одна одну в середньому і крайньому відношенні. Для цього проведемо у правильному п'ятикутнику АВСDЕ (рис. 6) діагоналі АС, ВЕ та СЕ. Нехай М — точка перетину перших двох з них. Тоді чотирикутник МСDЕ — ромб, а трикутники АМВ та СМЕ подібні між собою. Звідси випливає: , що й треба було довести.

За доби Середньовіччя правильний зірчастий п'ятикутник назвали пентаграмою («пента» означає «п'ять»). Пентаграмі приписувалася здатність захищати від злих духів. Згадаймо, що саме цей знак був накреслений перед порогом доктора Фауста — Мефістофелеві довелося неабияк постаратися, щоб пролізти у щілину між пентаграмою і одвірком.

Кажуть, що піфагорійці вже знали про існування правильних многогранників і вміли будувати принаймні три з них — куб, тетраедр і додекаедр. А це свідчить про досить високий рівень їхніх здобутків і в стереометрії. Наступна епоха Платона-Арістотеля-Евкліда мала що перейняти від піфагорійців!

Символічно, що гранями одного з правильних многогранників — додекаедра, є правильні п'ятикутники. Лише через дві тисячі років після піфагорійців з'ясувалося, що з додекаедра можна отримати три правильні зірчасті многогранники, гранями яких є правильні зірчасті п'ятикутники. Цікаво, що, крім цих трьох, існує ще лише один правильний зірчастий многогранник. Але і його форма тісно пов'язана з піфагорійською пентаграмою.