Свойства операций сложения и умножения на число

1. Коммутативность сложения: .

2. Ассоциативность сложения: .

3. Существует нулевой элемент такой, что , .

4. существует единственный противоположный элемент такой, что и .

5. и выполняется:

.

Определение 5.3: Пусть . Множество называется линейным подпространством пространства , если множество замкнуто относительно операций сложения и умножения на число, то есть и .

Определение 5.4: Пусть дана система векторов из . Будем говорить, что вектор является линейной комбинацией данных векторов, если существуют такие числа из , что .

Определение 5.5: Рассмотрим множество всевозможных линейных комбинаций векторов . Это множество называется линейной оболочкой этих векторов и обозначается ,

то есть

,

и является линейным подпространством.

Определение 5.6: Пусть – произвольная система векторов из (не обязательно конечная). Рассмотрим всевозможные линейные комбинации векторов из – . , где – линейные подпространства.

Теорема 5.1: – минимальное линейное подпространство, содержащее систему векторов .

Линейная зависимость векторов

Определение 5.7: Система векторов из называется линейно зависимой, если равенство

(2)

выполняется, когда не все числа равны нулю.

Таким образом, система векторов является линейно независимой, если из равенства (2) следует, что ,

Свойства линейной зависимости векторов

1. Если некоторая подсистема системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

2. Любая подсистема линейно независимой системы векторов линейно независима.

3. В системе линейно зависимых векторов хотя бы один вектор является линейной комбинацией остальных.

4. Если один вектор из системы векторов является линейной комбинацией остальных, то все векторы системы линейно зависимы.

5. Если векторы линейно независимы, а векторы линейно зависимы, то вектор является линейной комбинацией векторов .

Базис и размерность подпространства

Определение 5.8: Пусть – подпространство в . Система векторов из называется базисом подпространства , если она удовлетворяет двум условиям:

1. Система линейно независима.

2. .

Из определения 5.8 следует, что , .

Определение 5.9: Система чисел называется координатами вектора в базисе .

Теорема 5.2: Система векторов , ,…, образует базис пространства .

Лемма: Пусть – подпространство в , – базис в , – линейно независимая система векторов из , тогда .

Теорема 5.3: Всякое подпространство из обладает базисом, при этом все базисы подпространства состоят из одинакового количества векторов.

Определение 5.10: Количество векторов в базисе подпространства называется размерностью подпространства и обозначается .

Определение 5.11: Ранг системы векторов – это максимальное число линейно независимых векторов в этой системе. Обозначается: . Очевидно, что .

Тема 6 Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу размерности :

.

Определение 6.1: Рангом матрицы по столбцам ( ) называется ранг ее системы столбцов как векторов пространства . Рангом матрицы по строкам ( ) называется ранг ее системы строк как векторов пространства .

Определение 6.2: Выберем в матрице произвольные строк и столбцов, . Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, образуют квадратную матрицу -го порядка, определитель которой называется минором -го порядка матрицы .

Лемма: Если все миноры -го порядка матрицы равны нулю, то равны нулю все миноры более высоких порядков.

Теорема 6.1: Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы равен ее рангу по столбцам.

Следствие 1: – ранг матрицы.

Следствие 2: Определитель равен нулю тогда и только тогда, когда его строки (столбцы) линейно зависимы.

Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными:

(1)

Составим матрицу системы: и расширенную матрицу системы:

Теорема Кронекера-Капелли: Система (1) совместна тогда и только тогда, когда .

Схема решения системы линейных уравнений

1. Вычисляем и , если , то система несовместна.

Если , то:

2. Выбираем минор порядка в матрице , который отличен от нуля.

3. Рассматриваем систему из уравнений, коэффициенты которых входят в выбранный минор. Неизвестные, которые не входят в выбранный минор переносим в правые части уравнений и считаем эти неизвестные свободными.

4. Решаем систему из уравнений с неизвестными по правилу Крамера.