Разложение группы по подгруппе

Пусть – группа.

Определение 9.10: , , .

Пусть , – подгруппа группы .

Определение 9.11: называется левым смежным классом (или классом смежности) элемента по подгруппе , ( – правый смежный класс).

Свойства смежных классов

1. Любой смежный класс полностью определяется любым своим элементом, то есть если , то .

2. Классы смежности по данной подгруппе либо совпадают, либо не пересекаются.

3. Всякая группа равна объединению всех смежных классов, построенных по некоторой ее подгруппе.

Определение 9.12: Пусть множество различных смежных классов по подгруппе группы будет , обозначим их . Тогда называется разложением группы по подгруппе .

Теорема Лагранжа: В конечной группе порядок любой подгруппы является делителем порядка самой группы.

Следствие 1: Порядок любого элемента конечной группы является делителем порядка группы.

Следствие 2: Конечная группа, порядок которой есть простое число, является циклической.

Нормальные делители группы

Определение 9.13: Подгруппа группы называется ее нормальным делителем, если для любого элемента из выполняется: .

Теорема 9.7: Подгруппа группы является ее нормальным делителем тогда и только тогда, когда и существуют такие, что и .

Определение 9.14: Элемент из группы называется сопряженным элементу , если существует такой, что .

Теорема 9.8: Подгруппа группы является ее нормальным делителем тогда и только тогда, когда содержит все элементы, сопряженные к своим элементам, то есть и , .

Следствие: Если и – нормальные делители группы , то – нормальный делитель группы .

Факторгруппа

Пусть – нормальный делитель группы . Определим операцию умножения смежных классов: .

Теорема 9.9: Множество смежных классов по нормальному делителю образует группу относительно введенной выше операции умножения.

Определение 9.15: Эта группа называется факторгруппой группы по нормальному делителю и обозначается .

Свойства факторгруппы

1. Если – абелева группа, то – абелева группа.

2. Если – циклическая группа, то – циклическая группа.

3. Если – конечная группа порядка , то порядок является делителем .

Гомоморфизм групп

Определение 9.16: Отображение группы на группу называется гомоморфизмом, если выполняется: .

Замечание: Если отображение является взаимнооднозначным, то – изоморфизм.

Свойства гомоморфизма

1. Если , а , то .

2. .

Определение 9.17: называется ядром гомоморфизма .

Теорема 9.10: , где – гомоморфизм, является нормальным делителем группы .

Определение 9.18: Пусть – гомоморфизм на , . Поставим в соответствие каждому тот класс смежности, в который он входит по факторгруппе . Это соответствие является гомоморфизмом и называется естественным гомоморфизмом.

Теорема о гомоморфизмах: Пусть – гомоморфизм на , . Тогда группа изоморфна факторгруппе , причем существует такое изоморфное отображение первой из этих групп на вторую, что результат последовательного выполнения отображений и совпадает с естественным гомоморфизмом группы на факторгруппу .

31