Система линейных однородных уравнений

Определение 6.3: Система (1) называется системой линейных однородных уравнений, если , . (С.Л.О.У.)

Теорема 6.2: Множество решений С.Л.О.У. образует в подпространство.

Определение 6.4: Максимальная линейно независимая система решений С.Л.О.У. называется фундаментальной системой решений, (то есть базис подпространства решений).

Теорема 6.3: Если , (где – матрица С.Л.О.У.), то фундаментальная система решений состоит из векторов пространства .

Тема 7 Алгебра матриц

Рассмотрим множество матриц порядка с элементами из , которое обозначим .

Пусть и , .

Определение 7.1: , .

Введем во множестве следующие операции:

1. , .

2. .

3. , где , .

Теорема 7.1: Умножение матриц некоммутативно и ассоциативно.

Теорема об умножении определителей: .

Обратная матрица

Определение 7.2: Матрица называется невырожденной, если .

Определение 7.3: Матрица называется единичной, если выполняется: .

Теорема 7.2: Во множестве существует единственная единичная матрица и , где .

Определение 7.4: Матрица называется обратной для матрицы , если .

Определение 7.5: Матрица , где – алгебраическое дополнение к элементам матрицы .

Определение 7.6: Матрица называется присоединенной матрицей.

Теорема 7.3: , где .

Следствие: Если , то существует и .

Тема 8 Полиномы (многочлены)

Определение 8.1: Полиномом называется выражение вида , где – коэффициенты. Если , то это полином -ой степени.

Таким образом, все числа, кроме 0, являются полиномами 0-ой степени, а само число 0 – это полином, степень которого не определена.

Определение 8.2: Два полинома называются равными, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях .

Операции над полиномами

1. Сложение: , , , , . .

2. Умножение: , где , .

Теорема 8.1: Множество полиномов относительно введенных операций сложения и умножения является кольцом.

Теорема о делении с остатком

Для любых двух полиномов и существуют единственные полиномы и , удовлетворяющие условиям:

1. .

2. Степень полинома меньше степени полинома или .

Определение 8.3: называется частным, а – остатком от деления на .

Определение 8.4: Говорят, что делится на (обозначается ), если остаток от деления на равен нулю, ( ).

Теорема 8.2: такой, что .

Свойства делимости полиномов

1. Если , , то .

2. Если , , то .

3. Если , то , .

4. , где и .

5. Если , , тогда существует такое, что .

Определение 8.5: Если , то называется делителем . Полином называется общим делителем и , если – делитель и .

Определение 8.6: Полином называется наибольшим общим делителем (Н.О.Д.) и , если является их общим делителем и делится на любой общий делитель и . Обозначается: .

Алгоритм Евклида

Применяя последовательно теорему о делении с остатком, получим:

,

,

,

……………………………

,

,

,

где ( ) – частные, а ( ) – остатки.

Теорема 8.3: .

Корни полиномов. Схема Горнера

Определение 8.7: Число называется корнем полинома , если .

Теорема 8.4: – корень тогда и только тогда, когда .

Пусть и

,

где , , тогда по схеме Горнера:

, , .

.

Определение 8.8: Если и , то есть , а , то называется корнем кратности полинома .

Если , то говорят, что – простой корень .

Определение 8.9: Пусть , тогда называется производной полинома .

Выполняются обычные правила дифференцирования суммы и произведения.

Теорема 8.5: Число является корнем кратности для тогда и только тогда, когда – корень кратности для .