3.3 Кривая Лоренца. Оценки концентрации показателя статистической совокупности.

Наряду с распределением числа единиц совокупности по како­му-либо признаку часто представляет интерес и распределение по этим же группам определенного суммарного показателя (у). Послед­нее может быть равномерным (т.е. соответствующим распределению числа единиц) и неравномерным (т.е. сконцентрированным в от­дельных группах).

Для изучения степени неравномерности распределения опре­деленного суммарного показателя между единицами отдельных групп вариационного ряда используются кривая Лоренца (или кривая концентрации – см. ниже) и рассчитанный на ее основе коэффициент Джини (G - см. ниже).

Рассмотрим их построение на конкретном примере.

Задача 2.3

Пусть имеются следующие распределение городов по числу жителей и распределение населения по этим группам городов в одном из государств (графы 1, 2, 3 таблицы):

Группа	Число городов, % к итогу	Численность населения, % к итогу	Кумулятивные итоги
городов с числом жителей, тыс. чел.			% городов cum Wj (или р)	% населения cumdv
1	2	3	4	5
ДоЗ	4,2	0,2	4,2	0,2
3-5	4,6	0,3	8,8	0,5
5-10	13,1	1,7	21,9	2,2
10-20	28,3	6,8	50,2	9,0
20-50	28,7	14,8	78,9	23,8
50-100	9,7	10,3	88,6	34,1
100-500	9,7	33,8	98,3	67,9
Свыше 500	1,7	32,1	100,0	100,0
Итого	100,0	100,0	-	-

Построим кривую Лоренца для распределения населения по выделенным группам городов с разным числом жителей.

Следует иметь в виду, что для построения кривой Лоренца и распределение единиц совокупности (числа городов), и распреде­ление суммарного показателя (численности населения в городах) должны быть представлены, прежде всего, в относительных величи­нах, т.е. в долях или процентах, а затем для обоих распреде­лений рассчитаны накопленные (кумулятивные) итоги.

В нашем примере накопленные (кумулятивные) итоги частостей (долей) городов в процентах обозначены как сит w_i, или р_i, (графа 4), а долей населения в них — как cum d_yi. или q_t (графа 5). Символы p_i для накопленных частостей числа единиц совокупности и q_i для накопленных долей распределяемого в них суммарного показателя в последнее время все чаще встречаются в учебной литературе.

Чтобы графически показать неравномерность распределения населения по отдельным группам городов, строим квадрат 100 х 100 и на оси абсцисс откладываем значения кумулятивных итогов про­цента городов, а на оси ординат — значения кумулятивных итогов процента численности населения в них. Для каждой пары значений кумулятивных итогов находим точку пересечения на графике, про­водя перпендикуляры к осям. Затем по точкам пересечения пер­пендикуляров к осям вычерчиваем кривую, которая и носит назва­ние кривой Лоренца (рис. 7).

Если бы каждому проценту накопленных (кумулятивных) частостей городов соответствовал такой же процент населения в них, то все точки расположились бы по диагонали квадрата и это озна­чало бы равномерное распределение населения по выделенным группам городов. Естественно, чем больше фактическое распреде­ление двух показателей отклоняется от равномерного, тем больше кривая Лоренца удалена от диагонали. Следовательно, чем больше это удаление (вогнутость), тем выше концентрация изучаемого показателя (в нашем примере — численности населения) в опре-деленных группах единиц (в нашем примере — в крупных городах).

Если значения признака в группах вариационного ряда даны в порядке убывания (от большего к меньшему), то построенная по таким данным кривая Лоренца будет расположена выше диаго-нали в форме выпуклости.

Несколько кривых Лоренца, построенных на одном квадрате, позволяют сравнивать уровень концентрации изучаемого показа-теля в разное время или по разным объектам.

Для количественного измерения степени концентрации имеется ряд показателей. Наиболее часто используется для этой цели так называемый коэффициент Джини (G). По своей сути он представ­ляет собой отношение площади (S₁), ограниченной линией равно­мерного распределения (диагональю квадрата) и кривой Лоренца, к половине площади квадрата (S₁ +S₂), т.е.

Площадь S₂ можно представить как сумму площадей одного треугольника и нескольких прямоугольных трапеций, образован­ных кривой Лоренца, с основаниями w_i и сторонами q_i-1 и q_i (см. рис. 7), т.е. приближенно площадь S₂ можно определить как

где q_i-1= q₀ = 0, a q_n= 1.

Тогда коэффициент Джини выразится следующей формулой:

Значение коэффициента Джини G=0,7 свидетельствует о силь­ной концентрации населения в крупных городах.

Коэффициент Джини приближенно может быть рассчитан и по другой формуле:

И спользуя эту формулу, получим в нашем примере тот же ре­зультат, что и по формуле (1):

(Если пользоваться в расчетах не кумулятивными долями, а про­центами, то результат вычисления надо разделить на 10000.)

Кроме коэффициента Джини для измерения степени концент­рации определенного суммарного показателя по выделенным груп­пам единиц совокупности могут быть использованы и другие по­казатели, например коэффициент Лоренца и коэффициент Герфиндаля.

Коэффициент Лоренца (L) рассчитывается как полусумма раз­ностей доли единиц совокупности (частостей w_i) и доли изучаемо­го суммарного показателя (d_yi) по всем группам, т.е. по формуле

(Если w_i и d_yi выражены в процентах, то в знаменателе вместо 2 ставится 200.)

Коэффициент Герфиндаля (H) рассчитывается как сумма квад­ратов долей изучаемого суммарного показателя по всем группам, т.е.

В коэффициенте Герфиндаля d_yi можно записать по-разному в зависимости от условного обозначения распределяемого суммар­ного показателя. Например, если речь идет о производстве продук­ции по группам предприятий, то, обозначив ее через Q_i а долю

Для распределения численности работающих (Т) по отдельным группам предприятий коэффициент Герфиндаля будет выглядеть

Коэффициент Джини в статистической практике часто исполь­зуется для характеристики распределения общего объема денежных доходов по отдельным группам населения.