Тема 5 абсолютные, относительные и средние величины

Абсолютные, относительные и средние величины — основные обобщающие показатели, используемые при анализе статистических данных.

Абсолютный показатель характеризует размер изу­чаемого явления или процесса в данном месте и в данное время, он должен быть «привязан» к какому-нибудь объекту или терри­тории и может характеризовать либо отдельную единицу сово­купности (отдельный объект) — предприятие, рабочего, либо группу единиц, представляющую часть статистической совокуп­ности, или статистическую совокупность в целом (например, числен­ность населения в стране) и т. п. В первом случае речь идет об ин­дивидуальных абсолютных показателях, а во втором — о сводных абсолютных показателях.

Натуральные и стоимостные абсолютные показатели.

Относительные величины представляют собой обобщающие показатели, выражающие меру количественных соотношений, присущих конкретным явлениям или статистическим объектам. При расчете относительной величины берется отношение двух взаимосвязанных величин (преимущественно абсолютных). Они позволяют провести сравнение различных показателей и делают такое сравнение на­глядным.

Относительные величины исчисляются как отношение двух чисел. При этом числитель называется сравниваемой величиной, а знаменатель — базой относительного сравнения. Отно­сительные величины могут измеряться:

1. в коэффициентах; если база сравнения принята за 1, то от­носительная величина выражается целым или дробным числом, показывающим, во сколько раз одна величина больше другой или какую часть ее составляет;

2. в процентах, если база сравнения принимается за 100;

3. в промилле, если база сравнения принимается за 1000;

4. в продецимилле, если база сравнения принимается за 10 000;

5. в именованных числах (чел./км², руб./руб.) и др.

Сред­ние рассчитываются лишь для качественно однород­ных совокупностей. Кроме того, в зависимости от исходных дан­ных средние значения тех или иных признаков могут рассчиты­ваться по-разному. Очень часто среднее значение какого-либо показателя вычисляется в статистике на основе итоговых показа­телей, рассчитанных для совокупности. Например, зная валовой сбор и посевную площадь под зерновыми по области, легко опре­делить среднюю урожайность зерновых, разделив валовой сбор на посевную площадь. Если же известны значения признака у отдель­ных единиц совокупности, то осредненный показатель может быть рассчитан как средняя из отдельных вариантов по одной из формул различных видов средних величин: в одних случаях — как средняя арифметическая (простая или взвешенная), в других — как средняя гармоническая (простая или взвешенная), в третьих — как средняя геометрическая и т.д.

Из средних величин наиболее часто встречаются средняя ариф­метическая простая и средняя арифметическая взвешенная , где — отдельные значения признака, варианты;

веса каждого варианта. Взвешенная применяется в тех случаях, когда отдельные значения признаков повторяются. Если вместо абсолютных частот в распределении имеются частости , выступающие в роли весов, то тогда (если выражены в долях, (если выражены в процентах,

Рассмотрим ряд примеров.

Задача 4.1

Имеются следующие данные о производстве продукта А пятью рабочими бригады за смену:

Номер рабочего	1	2	3	4	5
Произведено продукции А за смену, шт.,	21	18	20	22	19

Определить среднюю выработку одного рабочего данной бригады.

Средняя выработка определяется как средняя арифметическая простая:

Задача 4.2

Имеется следующее распределение 60 рабочих по тарифному разряду (ряд дискретный):

Тарифный разряд	2	3	4	5	6
Число рабочих	8	16	17	12	7

Определить средний тарифный разряд рабочих.

Расчет производим по средней арифметической взвешенной:

Задача 4.3

Требуется определить среднемесячную заработную плату одно­го рабочего на предприятии по следующим данным (графы 1 и 2 таблицы):

Месячная заработная плата, руб.	Число рабочих //	Середина интервала х,	Xifi
1	2	3	4
8000-8500	10	8250	82500
8500-9000	20	8750	175000
9000-9500	48	9250	444000
9500-10000	60	9750	585000
10000-10500	42	10250	430500
10500-11000	20	10750	215000
Итого	200	-	1932000

Для интервальных рядов сначала находят центры (середины) интервалов, а затем последние умножают на веса, произведения суммируют и делят на сумму весов.

Среднее значение признака в каждом интервале дано в гра­фе 3. Результаты умножения вариантов навеса показаны в графе 4.

Отсюда средняя заработная плата одного рабочего

Когда весами у отдельных признаков служат показатели, явля­ющиеся произведением этих вариантов на количество единиц, то средняя из всех вариантов рассчитывается как средняя гармоничес­кая взвешенная, формула которой:

Например, М_i – выработка за смену в i-й бригаде;

х_i – средняя выработка рабочих i-й бригады.

Если М_i равны между собой, то

Средняя геометрическая:

- простая:

- взвешенная:

Средняя квадратическая:

- простая:

- взвешенная:

Средняя хронологическая:

Все основные средние величины могут быть пред­ставлены в виде общей формулы:

где — средняя величина;

х — индивидуальное значение признака;

n — число единиц изучаемой совокупности;

k — показатель степени, определяющий вид средней.

Общее правило: