Глава 1 математическое введение в

МЕХАНИКУ

1.1 Векторная алгебра

Вектором называется направленный отрезок, для которого заданы длина, называемая модулем или величиной вектора, и направление. Сила , действующая на материальную точку, есть вектор, так как она обладает названными свойствами.

Скалярной величиной, или скаляром, называется число, то есть величина, не обладающая направлением. Maсса тела m, и его плотность p - тоже скалярные величины.

Над векторами производят действия, называемые сложением, вычитанием и умножением векторов.

1. Сложение векторов

Если заданы векторы и , то их можно сложить по правилам параллелограмма или треугольника (рис. 1.1 и рис. 1.2 соответственно). Вектор является их суммой:

. (1.1)

В первом случае суммарный вектор представляет собой диагональ параллелограмма, построенного на составляющих векторах как на сторонах (начала всех трех векторов совпадают). Во втором случае поступают так: с концом вектора совмещают начало вектора . Соединив затем начало первого вектора с концом второго, получают суммарный вектор .

Проекцией вектора вдоль прямой (плоскости) называется вектор, лежащий на данной прямой (плоскости), начало, и конец которого совпадают с проекциями начала и конца вектора. Проекцией вектора на ось называется скаляр (число), равный по величине модулю составляющей вектора на ту же ось, причем это число берется со знаком плюс, если направление составляющей вектора совпадает с направлением оси, и со знаком минус, е сли эти направления противоположны. На рис. 1.3 и - это проекции вектора , а и - проекции вектора на координатные оси. Проекции суммарного вектора на координатные оси равны сумме проекций слагаемых векторов

c_x = a_x +b_x,

c_y = a_y+b_y. (1.2)

Это видно из рисунка 1.3.

1.1.2 Умножение вектора на число

Пусть требуется умножить вектор на число п. Если число п положительное, то в результате умножения получится новый вектор , имеющий то же направление, что и вектор , но модуль в n раз больший, если n ≥ 1, и модуль в 1/n раз меньший, если (рис. 1.4). Модуль вектора равен , а проекция вектора на ось равна

b_x = na_x.

Если вектор умножить на отрицательное число k (k < 0), то получится вектор , направленный противоположно вектору , с модулем в раз большим, если , и модулем в раз меньшим, если (рис.1.5). Модуль вектора равен а проекция вектора равна c_x = ka_x.

1.1.3 Вычитание векторов

Вычесть из вектора вектор (рис. 1.6) значит прибавить к вектору вектор (- ), отличающийся от вектора тем, что он направлен в противоположную сторону (знак минус указывает здесь противоположность направления): .

Модули векторов и (- ) равны, а их направления противоположны (такие векторы называются противоположными). Проекции противоположных векторов имеют противоположные знаки. Сами же векторы не могут быть ни положительными, ни отрицательными.

Можно находить разность векторов иначе. Если представить векторы и выходящими из одной точки (рис. 1.7), то разность векторов изобразится вектором , проведенным из конца «вычитаемого» вектора к концу «уменьшаемого» вектора .

При вычитании векторов вычитаются и их проекции на координатные оси. Если , то c_x = a_x - b_x (рис. 1.8).